【題目】如圖，在三棱錐PABC中，底面ABC，，，，D，E分別是AC，PC的中點(diǎn)，F是PB上一點(diǎn)，且，M為PA的中點(diǎn)，二面角的大小為45°.

（1）證明：平面AEF；

（2）求直線AF與平面BCM所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接PD交AE于點(diǎn)O，因?yàn)?/span>D，E分別是AC，PC的中點(diǎn)，則點(diǎn)O是的重心，所以，連接OF，又，所以，從而可證明結(jié)論.
（2）由題意可證得即二面角的平面角，即，可得，則，得到，又由題意易知，CA，CB，CP兩兩垂直，故以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA，CB，CP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解線面角.

解：（1）連接PD交AE于點(diǎn)O，因?yàn)?/span>D，E分別是AC，PC的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)O是的重心，所以.

連接OF，又，所以，則.

又平面AEF，平面AEF，所以平面AEF.

（2）因?yàn)?/span>底面ABC，平面ABC，所以.又，，

所以平面PAC.所以，又，所以即二面角的平面角，

所以，連接MD，易得，則，所以.

由題意易知，CA，CB，CP兩兩垂直，故以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA，CB，CP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

所以，，

所以，，.

設(shè)平面BCM的法向量為，則，得，得，

令，則，所以為平面BCM的一個(gè)法向量.

設(shè)直線AF與平面BCM所成的角為.

則

故直線AF與平面BCM所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)在處取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)的極值點(diǎn)．設(shè)函數(shù)．

（1）若函數(shù)在上無極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)，在函數(shù)的圖象上總存在兩條切線相互平行；

（3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的圖象上存在的兩條平行切線之間的距離為4，問；這樣的平行切線共有幾組？請(qǐng)說明理由．

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【題目】單位正方體在空間直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，動(dòng)點(diǎn)，，其中，，設(shè)由，，三點(diǎn)確定的平面截該正方體的截面為，那么（ ）

A.對(duì)任意點(diǎn)，存在點(diǎn)使截面為三角形

B.對(duì)任意點(diǎn)，存在點(diǎn)使截面為正方形

C.對(duì)任意點(diǎn)和，截面都為梯形

D.對(duì)任意點(diǎn)，存在點(diǎn)使得截面為矩形

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校名學(xué)生參加軍事冬令營(yíng)活動(dòng)，活動(dòng)期間各自扮演一名角色進(jìn)行分組游戲，角色按級(jí)別從小到大共種，分別為士兵、排長(zhǎng)、連長(zhǎng)、營(yíng)長(zhǎng)、團(tuán)長(zhǎng)、旅長(zhǎng)、師長(zhǎng)、軍長(zhǎng)和司令.游戲分組有兩種方式，可以人一組或者人一組.如果人一組，則必須角色相同；如果人一組，則人角色相同或者人為級(jí)別連續(xù)的個(gè)不同角色.已知這名學(xué)生扮演的角色有名士兵和名司令，其余角色各人，現(xiàn)在新加入名學(xué)生，將這名學(xué)生分成組進(jìn)行游戲，則新加入的學(xué)生可以扮演的角色的種數(shù)為________.

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【題目】已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為.

（1）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（2）若，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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【題目】某市數(shù)學(xué)教研室對(duì)全市2018級(jí)15000名的高中生的學(xué)業(yè)水平考試的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)選取了200名高中生的學(xué)業(yè)水平考試的數(shù)學(xué)成績(jī)作為樣本進(jìn)行分析，將結(jié)果列成頻率分布表如下：

數(shù)學(xué)成績(jī)

頻數(shù)

頻率

5

0.025

15

0.075

50

0.25

70

0.35

45

0.225

15

0.075

合計(jì)

200

1

根據(jù)學(xué)業(yè)水平考試的數(shù)學(xué)成績(jī)將成績(jī)分為“優(yōu)秀”、“合格”、“不合格”三個(gè)等級(jí)，其中成績(jī)大于或等于80分的為“優(yōu)秀”，成績(jī)小于60分的為“不合格”，其余的成績(jī)?yōu)椤昂细瘛?/span>.

（1）根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)，估計(jì)全市學(xué)業(yè)水平考試的數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)（精確到0.1）；

（2）市數(shù)學(xué)教研員從樣本中又隨機(jī)選取了名高中生的學(xué)業(yè)水平考試的數(shù)學(xué)成績(jī)，如果這名高中生的學(xué)業(yè)水平考試的數(shù)學(xué)成績(jī)的等級(jí)情況恰好與按照三個(gè)等級(jí)分層抽樣所得的結(jié)果相同，求的最小值；

（3）估計(jì)全市2018級(jí)高中生學(xué)業(yè)水平考試“不合格”的人數(shù).

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【題目】某工廠質(zhì)檢部門要對(duì)該廠流水線生產(chǎn)出的一批產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，如果檢查到第件仍未發(fā)現(xiàn)不合格品，則此次檢查通過且認(rèn)為這批產(chǎn)品合格，如果在尚未抽到第件時(shí)已檢查到不合格品則拒絕通過且認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格.設(shè)這批產(chǎn)品的數(shù)量足夠大，可以認(rèn)為每次檢查查到不合格品的概率都為，即每次抽查的產(chǎn)品是相互獨(dú)立的.

（1）若，求這批產(chǎn)品能夠通過檢查的概率；

（2）已知每件產(chǎn)品質(zhì)檢費(fèi)用為50元，若，設(shè)對(duì)這批產(chǎn)品的質(zhì)檢個(gè)數(shù)記作，求的分布列；

（3）在（2）的條件下，已知1000批此類產(chǎn)品，若，則總平均檢查費(fèi)用至少需要多少元？（總平均檢查費(fèi)用每批次平均檢查費(fèi)用批數(shù)）

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【題目】如圖，某十字路口的花圃中央有一個(gè)底面半徑為的圓柱形花柱，四周斑馬線的內(nèi)側(cè)連線構(gòu)成邊長(zhǎng)為的正方形.因工程需要，測(cè)量員將使用儀器沿斑馬線的內(nèi)側(cè)進(jìn)行測(cè)量，其中儀器的移動(dòng)速度為，儀器的移動(dòng)速度為.若儀器與儀器的對(duì)視光線被花柱阻擋，則稱儀器在儀器的“盲區(qū)”中.

（1）如圖，斑馬線的內(nèi)側(cè)連線構(gòu)成正方形，儀器在點(diǎn)處，儀器在上距離點(diǎn)處，試判斷儀器是否在儀器的“盲區(qū)”中，并說明理由；

（2）如圖，斑馬線的內(nèi)側(cè)連線構(gòu)成正方形，儀器從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)移動(dòng)，同時(shí)儀器從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)移動(dòng)，在這個(gè)移動(dòng)過程中，儀器在儀器的“盲區(qū)”中的時(shí)長(zhǎng)為多少？

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（1）當(dāng)a為何值時(shí)，的長(zhǎng)最�。�

（2）當(dāng)長(zhǎng)最小時(shí)，求面與面所成的二面角α的余弦值.

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