Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）過點(diǎn)A(

2

，0)，且離心率為

2

，設(shè)F₁、F₂是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)
（1）求雙曲線的方程；
（2）若△PF₁F₂是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）過點(diǎn)A(

2

，0)，且離心率為

2

，求出幾何量，可得雙曲線的方程；
（2）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，求出mn，利用面積公式，確定P的縱坐標(biāo)，從而可求P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）過點(diǎn)A(

2

，0)，且離心率為

2

，
∴a=

2

，

c

a

=

2

∴c=2，∴b²=c²-a²=2，
∴雙曲線的方程為

x2

2

-

y2

2

=1；
（2）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，則

|m-n|=2 2 m2+n2=16

∴mn=4
∴

1

2

mn=2
設(shè)P（x，y），則

1

2

•4•|y|=2，∴|y|=1，∴y=±1
y=1時，x=±

3

；y=-1時，x=±

3

，
∴P（

3

，±1）或P（-

3

，±1）．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計數(shù)能力，屬于中檔題．