Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，分別取邊BC、CD的中點(diǎn)E、F，連接AE、EF、AF，以AE、EF、FA為折痕，折疊使點(diǎn)B、C、D重合于一點(diǎn)P．
（1）求證：AP⊥EF；
（2）求證：平面APE⊥平面APF；
（3）求異面直線(xiàn)PA和EF的距離．

Answer 1

分析：（1）這是一個(gè)“折疊問(wèn)題”，需抓住不變的線(xiàn)線(xiàn)垂直關(guān)系、長(zhǎng)度關(guān)系．比如：∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P，所以PA⊥平面PEF．
又因?yàn)镋F?平面PEF，所以PA⊥EF．
（2）由長(zhǎng)度關(guān)系易得：∠EPF=90°，且∠APE=90°，AP∩PF=P，所以PE⊥平面APF．又PE?平面PAE，所以平面APE⊥平面APF．
（3）求異面直線(xiàn)的距離是立體幾何的一個(gè)難點(diǎn)，其主要原因是公垂線(xiàn)段較難找，本題可以采用“線(xiàn)面距離法”：即選擇異面直線(xiàn)中的一條，過(guò)它作另一條直線(xiàn)的平行平面，則此直線(xiàn)與平面的距離即為所求異面直線(xiàn)間的距離．在面PEF中，作PG⊥EF，垂足為G，
則PG是AP與EF的公垂線(xiàn)．在等腰Rt△PEF中，進(jìn)一步可以求得PG的長(zhǎng)度．

解答：（1）證明：如圖，∵∠APE=∠APF=90°，
PE∩PF=P，∴PA⊥平面PEF．
∵EF?平面PEF，∴PA⊥EF．
（2）證明：∵∠APE=∠EPF=90°，
AP∩PF=P，∴PE⊥平面APF．又PE?平面PAE，
∴平面APE⊥平面APF．
（3）解：在面PEF中，作PG⊥EF，垂足為G，
∵AP與面PEF垂直，PG?平面PEF，
∴AP⊥PG，PG⊥EF，PG是AP與EF的公垂線(xiàn)．
在等腰Rt△PEF中，PE=PF=

1

2

，∠EPF=90°，∴PG=EG=

2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本小題考查空間中的線(xiàn)面關(guān)系及面面關(guān)系，異面直線(xiàn)的距離、解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)考查空間想象能力和思維能力．