Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AB⊥BC，CD⊥BD，如圖1．把△ABD沿BD翻折，使得平面A′BD⊥平面BCD，如圖2．

（Ⅰ）求證：CD⊥A′B；
（Ⅱ）求三棱錐A′-BDC的體積；
（Ⅲ）在線段BC上是否存在點(diǎn)N，使得A′N⊥BD？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

滿分（12分）．
解：（Ⅰ）∵平面A'BD⊥平面BCD，平面A'BD∩平面BCD=BD，CD⊥BD
∴CD⊥平面A'BD，…（2分）
又∵AB?平面A'BD，∴CD⊥A'B． …（4分）
（Ⅱ）如圖（1）在．
∵AD∥BC，∴∠ADB=DBC=30°．
在．
∴．…（6分）
如圖（2），在Rt△A'BD中，過點(diǎn)A'做A'E⊥BD于E，∴A'E⊥平面BCD．
∵，…（7分）
∴．…（8分）
（Ⅲ）在線段BC上存在點(diǎn)N，使得A'N⊥BD，理由如下：
如圖（2）在Rt△A'EB中，，
∴，…（9分）
過點(diǎn)E做EN∥DC交BC于點(diǎn)N，則，
∵CD⊥BD，∴EN⊥BD，…（10分）
又A'E⊥BD，A'E∩EN=E，∴BD⊥平面A'EN，
又A'N?平面A'EN，∴A'N⊥BD．
∴在線段BC上存在點(diǎn)N，使得A'N⊥BD，此時(shí)．…（12分）
分析：（Ⅰ）通過已知條件證明CD⊥平面A'BD，然后證明CD⊥A'B．
（Ⅱ）在Rt△ABD中，推出∠ADB=DBC=30°．求出S_△BDC，在Rt△A'BD中，過點(diǎn)A'做A'E⊥BD于E，說明A'E⊥平面BCD．說明是幾何體的高，即可求解．
（Ⅲ）在線段BC上存在點(diǎn)N，使得A'N⊥BD，過點(diǎn)E做EN∥DC交BC于點(diǎn)N，推出EN⊥BD，說明BD⊥平面A'EN，A'N⊥BD．即可證明在線段BC上存在點(diǎn)N，使得A'N⊥BD．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、棱錐體積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力及運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想．