Question

某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4	5
P	0.4	0.2	0.2	0.1	0.1

商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為200元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為300元，η表示經(jīng)銷(xiāo)一件該商品的利潤(rùn)．
（Ⅰ）求事件A：“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；
（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款的對(duì)立事件是購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中無(wú)人采用1期付款，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式得到結(jié)果．
（2）根據(jù)顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列對(duì)應(yīng)于η的可能取值為200元，250元，300元．得到變量對(duì)應(yīng)的事件的概率，寫(xiě)出變量的分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意知購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款的對(duì)立事件是購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中無(wú)人采用1期付款，
設(shè)A表示事件“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”．
知

.

A

表示事件“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中無(wú)人采用1期付款”
P(

.

A

)=(1-0.4)3=0.216，
∴P(A)=1-P(

.

A

)=1-0.216=0.784．
（Ⅱ）根據(jù)顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列對(duì)應(yīng)于η的可能取值為200元，250元，300元．
得到變量對(duì)應(yīng)的事件的概率
P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，
P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，
P（η=300）=1-P（η=200）-P（η=250）=1-0.4-0.4=0.2．
∴η的分布列為

η	200	250	300
P	0.4	0.4	0.2

∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來(lái)理科高考必出的一個(gè)問(wèn)題，題目做起來(lái)不難，運(yùn)算量也不大，只要注意解題格式就問(wèn)題不大．