解:(1)∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536141.png)
,且A為銳角
∴cosA=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1285.png)
,sinA=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1073.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/327.png)
∵sinC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1183.png)
,且C為銳角
∴cosC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/102772.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/9922.png)
因此,cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1285.png)
•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/9922.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/327.png)
•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1183.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
(2)∵cos(A+C)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
,0<A+C<π,∴A+C=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/197.png)
,得B=π-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/197.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1008.png)
,sinB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
∵sinA=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/327.png)
,sinB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
,sinC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1183.png)
,
∴sinA:sinB:sinC=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
:5
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/186.png)
由正弦定理,得a:b:c=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
:5
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/186.png)
,設(shè)a=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
x,得b=5
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
x,c=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/186.png)
x
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/178091.png)
,得2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
x-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/186.png)
x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6104.png)
∴x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1183.png)
,可得a=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,b=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
,c=1
(3)由(2)知A+C=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/197.png)
,得tan(α+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/197.png)
)=2
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/521728.png)
=2,解之得tanα=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/229206.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536142.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536143.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/168.png)
分析:(1)根據(jù)二倍角三角函數(shù)與同角三角函數(shù)的關(guān)系,算出cosA、sinA和cosC的值,最后用兩角和的余弦公式,即可求出cos(A+C)的值;
(2)由(1)求出的cos(A+C)值,可得A+C=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/197.png)
,從而算出sinB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
,結(jié)合正弦定理得出a:b:c=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
:5
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/186.png)
,再結(jié)合題意
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/178091.png)
,不難得出三邊a,b,c的值;
(3)由題意,tan(α+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/197.png)
)=2,解之得tanα=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
,再將所求式的分子轉(zhuǎn)化為cos
2α+sin
2α,分子分母同除以cos
2α轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子,即可得到所求式子的值.
點(diǎn)評:本題給出三角形的兩個(gè)角A、C與邊a、c的關(guān)系式,求三邊的長并求三角函數(shù)式的值,著重考查了三角恒等變形、三角形內(nèi)角和定理和用正余弦定理解三角形等知識,屬于中檔題.