Question

【題目】如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB=5，AC=6，點E,F分別在AD,CD上，AE=CF= ，EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△ 的位置， .

（1）證明： 平面ABCD；
（2）求二面角 的正弦值.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵ ，

∴ ，

∴ ．

∵四邊形 為菱形，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ；

又 ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

又∵ ，

∴ 面

（2）

解：建立如圖坐標(biāo)系 ．

， ， ， ，

， ， ，

設(shè)面 法向量 ，

由 得 ，取 ，

∴ ．

同理可得面 的法向量 ，

∴ ，

∴

【解析】（1）由底面ABCD為菱形，可得AD=CD，結(jié)合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，進(jìn)一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由線面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；（2）以H為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由已知求得所用點的坐標(biāo)，得到 的坐標(biāo)，分別求出平面ABD′與平面AD′C的一個法向量 ，設(shè)二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角為θ，求出|cosθ|．則二面角B﹣D′A﹣C的正弦值可求