設(shè)點、分別是橢圓的左、右焦點,為橢圓上任意一點,且的最小值為.
(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)直線(直線、不重合),若均與橢圓相切,試探究在軸上是否存在定點,使點、的距離之積恒為1?若存在,請求出點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

(1);(2)定點存在,其坐標(biāo)為.

解析試題分析:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系等數(shù)學(xué)知識,考查分析問題解決問題的能力和計算能力,考查函數(shù)思想和分類討論思想.第一問,設(shè)出點坐標(biāo),用代數(shù)法解題,得到向量的坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積得出表達式,求出最小值,即可解出的值,即確定了的值,寫出橢圓的方程;第二問,由于直線與橢圓相切,所以直線與橢圓方程聯(lián)立消參,得出方程的判別式等于0,得出,同理,得出,所以,因為兩直線不重合,所以,若存在點,利用點到直線的距離公式得到距離之積為1的表達式,解出的值,由于的值存在,所以存在點,寫出坐標(biāo)即可.
試題解析:(I)設(shè),則有,

最小值為,
∴橢圓的方程為                                  4分
(II)把的方程代入橢圓方程得
∵直線與橢圓相切,∴,化簡得
同理可得:
,若,則重合,不合題意,
,即                           8分
設(shè)在軸上存在點,點到直線的距離之積為1,則
,即,
代入并去絕對值整理,或者 
前式顯然不恒成立;而要使得后式對任意的恒成立
,解得;
綜上所述,滿足題意的定點存在,其坐標(biāo)為 .          12分
考點:1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2.向量的數(shù)量積;3.點到直線的距離公式.

練習(xí)冊系列答案
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已知雙曲線x2-y2=2若直線n的斜率為2 ,直線n與雙曲線相交于A、B兩點,線段AB的中點為P,
(1)求點P的坐標(biāo)(x,y)滿足的方程(不要求寫出變量的取值范圍);
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(1)若點中點,求直線的方程;
(2)設(shè)拋物線的焦點為,當(dāng)時,求的面積.

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已知橢圓的離心率為,橢圓的的一個頂點和兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為4,
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知直線與橢圓C交于A, B兩點,若點M(, 0),求證為定值.

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已知橢圓上的點到左右兩焦點的距離之和為,離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過右焦點的直線交橢圓于兩點,若軸上一點滿足,求直線的斜率的值.

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已知曲線.
(1)若曲線是焦點在軸上的橢圓,求的取值范圍;
(2)設(shè),過點的直線與曲線交于,兩點,為坐標(biāo)原點,若為直角,求直線的斜率.

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已知橢圓(a>b>0)的離心率為,右焦點為(,0).
(I)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過橢圓的右焦點且斜率為k的直線與橢圓交于點A(xl,y1),B(x2,y2),若, 求斜率k是的值.

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已知拋物線,直線與E交于A、B兩點,且,其中O為原點.
(1)求拋物線E的方程;
(2)點C坐標(biāo)為,記直線CA、CB的斜率分別為,證明:為定值.

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