Question

【題目】已知函數(shù)，，其中．

討論函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；

若函數(shù)與的圖象無(wú)交點(diǎn)，設(shè)直線與的數(shù)和的圖象分別交于點(diǎn)P，證明：．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)證明

【解析】

原問(wèn)題等價(jià)于求解方程根的個(gè)數(shù)，據(jù)此構(gòu)造函數(shù)，分類討論即可確定交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；由可知，當(dāng)函數(shù)與的圖象無(wú)交點(diǎn)時(shí)，，據(jù)此構(gòu)造函數(shù)證明題中的不等式即可．

函數(shù)與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程根的個(gè)數(shù)，

設(shè)，．

則在上單調(diào)遞增，且．

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，，則在上單調(diào)遞增．

所以，當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象無(wú)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，又．

，所以在和上分別有一個(gè)零點(diǎn)．

所以，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．

綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．

由可知，當(dāng)函數(shù)與的圖象無(wú)交點(diǎn)時(shí)，．

設(shè)，，由得，由得，

．

設(shè)，

先證明不等式，再證明，．

設(shè)則．

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

所以，即．

設(shè)則．

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減：

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．

所以，即．

所以．

因?yàn)?/span>時(shí)，中等號(hào)成立，時(shí)，中等號(hào)成立，

而，所以等號(hào)不能同時(shí)成立．

所以．

所以．