Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形， ，PA=PD，F(xiàn)為AD的中點，PD⊥BF．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）若菱形ABCD的邊長為6，PA=5，求四面體PBCD的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接PF，

∵PA=PD，F(xiàn)為AD的中點，

∴PF⊥AD，

∵底面ABCD是菱形， ，

∴△ABD是等邊三角形，∵F為AD的中點，

∴BF⊥AD，

又PF，BF平面PBF，PF∩BF=F，

∴AD⊥平面PBF，∵PB平面PBF，

∴AD⊥PB

（2）解：由（1）得BF⊥AD，又∵PD⊥BF，AD，PD平面PAD，

∴BF⊥平面PAD，又BF平面ABCD，

∴平面PAD⊥平面ABCD，

由（1）得PF⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PF⊥平面ABCD，

在直角△PAF中，PA=5，AF= AD=3，∠PFA=90°，∴PF=4，

∴四面體PBCD的體積 ．

【解析】（1）連接PF，由三線合一可得AD⊥BF，AD⊥PF，故而AD⊥平面PBF，于是AD⊥PB；（2）證明PF⊥平面ABCD，計算PF，代入體積公式計算．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點才能正確解答此題．