Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y 2

b2

1（a＞b＞0）經(jīng)過點M（1，

3

2

），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C的兩個焦點，且|MF₁|+|MF₂|=4．O為橢圓C的中心．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P，Q是橢圓C上不同的兩點，且O為△MPQ的重心，試求△MPQ的面積．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義確定a的值，代入點M（1，

3

2

），求出b的值，從而可得橢圓C的方程；
（2）確定N的坐標(biāo)，設(shè)出直線方程代入橢圓方程，求出直線方程，可得P，Q的坐標(biāo)，即可求△MPQ的面積．

解答：解：（1）∵F₁，F(xiàn)₂是橢圓C的兩個焦點，且|MF₁|+|MF₂|=4，
∴由橢圓的定義知2a=4，∴a=2，…（3分）
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y 2

b2

=1，
代入點M（1，

3

2

），得

1

4

+

9 4

b2

=1，∴b²=3   …（5分）
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y 2

3

=1                                        …（6分）
（2）若O點為△MPQ的重心，設(shè)PQ的中點為N，則

MO

=2

ON

，∴N（-

1

2

，-

3

4

），…（8分）
顯然直線PQ的斜率存在，不妨設(shè)為k，則方程為y+

3

4

=k（x+

1

2

）
代入橢圓方程，消去y得：（3+4k²）x²+k（4k-6）x+k2-3k-

39

4

=0①…（9分）
∵點N在橢圓內(nèi)，△＞0恒成立，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=

k(4k-6)

3+4k2

，∴x_N=

k(4k-6)

2(3+4k2)

=-

1

2

∴k=-

1

2

，…（11分）
∴①式化簡為x²+x-2=0，∴x=-2或x=1
不妨P（-2，0），Q（1，-

3

2

），由橢圓對稱性知S_△MPQ=2×

1

2

×3×

3

2

=

9

2

．…（14分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的定義，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．