Question

我們知道，在△ABC中，若c²=a²+b²，則△ABC是直角三角形．若cⁿ=aⁿ+bⁿ（n＞2），則△ABC是________三角形．（填“銳角”、“鈍角”、“直角”）

Answer 1

銳角
分析：由已知的等式cⁿ=aⁿ+bⁿ，得到c為三角形的最大邊，利用不等式的性質及作差的方法判斷得到a²+b²＞c²，然后利用余弦定理表示出cosC，由得到的a²+b²＞c²，判斷出cosC大于0，即C為銳角，根據三角形邊角關系：大邊對大角，得到三角形三內角都為銳角，從而得到三角形為銳角三角形．
解答：∵cⁿ=aⁿ+bⁿ，
∴c＞a，c＞b，即c為最大邊，
∴c^n-2＞a^n-2，c^n-2＞b^n-2，
即c^n-2-a^n-2＞0，c^n-2-b^n-2＞0，
∴（a²+b²）c^n-2-cⁿ=（a²+b²）c^n-2-aⁿ-bⁿ=a²（c^n-2-a^n-2）+b²（c^n-2-b^n-2）＞0，
即（a²+b²）c^n-2＞cⁿ，
∴a²+b²＞c²，
∴cosC=＞0，
則△ABC也是銳角三角形，
故答案為：銳角
點評：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有三角形的邊角關系，不等式的基本性質，余弦函數的圖象與性質以及余弦定理，其中利用作差法判斷出a²+b²＞c²是解本題的關鍵．