Question

已知拋物線(xiàn)C：x²=2py（p＞0）上一點(diǎn)A（a，4）到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為．
（Ⅰ）求p與a的值；
（Ⅱ）設(shè)拋物線(xiàn)C上動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜2），過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)交C于另一點(diǎn)Q，交x軸于M點(diǎn)（直線(xiàn)PQ的斜率記作k）．過(guò)點(diǎn)Q作PQ的垂線(xiàn)交C于另一點(diǎn)N．若MN恰好是C的切線(xiàn)，問(wèn)k²+tk-2t²是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（I）可得拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，由題意可得，解得．
∴拋物線(xiàn)的方程為x²=y．把點(diǎn)A（a，4）代人此方程得a²=4，解得a=±2．
∴a=±2，．
（II）由題意可知：過(guò)點(diǎn)P（t，t²）的直線(xiàn)PQ的斜率k不為0，則直線(xiàn)PQ：y-t²=k（x-t），
當(dāng)y=0時(shí)，，∴M．
聯(lián)立消去y得（x-t）[x-（k-t）]=0，
解得x=t，或x=k-t．∴Q（k-t，（k-t）²），
∵QN⊥QP，∴，∴直線(xiàn)NQ：，
聯(lián)立，消去y化為，解得x=k-t，或．
∴N，∴拋物線(xiàn)在點(diǎn)N處的切線(xiàn)的斜率為=，
另一方面k_MN=，
∴，
∵，∴，化為k²+tk-2t²=-1為定值．
分析：（I）利用拋物線(xiàn)的定義和點(diǎn)在拋物線(xiàn)上滿(mǎn)足的條件即可得出；
（II）由題意可知：過(guò)點(diǎn)P（t，t²）的直線(xiàn)PQ的斜率k不為0，則直線(xiàn)PQ：y-t²=k（x-t），即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，把直線(xiàn)PQ的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．由QN⊥QP，即可得出直線(xiàn)QN的方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)和斜率的計(jì)算公式即可得出直線(xiàn)MN兩種形式的斜率，化簡(jiǎn)即可證明結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握拋物線(xiàn)的定義及其性質(zhì)、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立即可得到交點(diǎn)的坐標(biāo)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與切線(xiàn)的斜率關(guān)系、斜率的計(jì)算公式設(shè)解題的關(guān)鍵．