Question

 如圖，已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F、F，A是橢圓C上的一點，AF⊥FF，O是坐標原點，OB垂直AF于B，且OF=3OB.

（Ⅰ）求橢圓C的離心率；

（Ⅱ）求t∈（0，b），使得命題“設(shè)圓x+y=t上任意點M（x，y）處的切線交橢圓C于Q、Q兩點，那么OQ⊥OQ”成立.

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓C的離心率為. （2）t=b∈（0，b）使得所述命題成

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）解法一：由題設(shè)AF⊥FF及F（－c，0），F(xiàn)（c，0），不妨設(shè)點A（c，y），其中y>0，由于點A在橢圓上，有+=1，

+=1，解得y=，從而得到A.              1分

直線AF的方程為y=（x+c），整理得bx－2acy+bc=0.     2分

由題設(shè)，原點O到直線AF的距離為|OF|，即=，   3分

將c=a－b代入原式并化簡得a=2b，即a=b.

∴e==.即橢圓C的離心率為.                 4分

解法二：點A的坐標為.                               1分

過點O作OB⊥AF，垂足為B，易知△FBC∽△FFA，

故=.                                           2分

由橢圓定義得|AF|+|AF|=2a，又|BO|=|OF|，

所以=.                                   3分

解得|FA|=，而|FA|=，得=.                    

∴e==.即橢圓C的離心率為.                 4分

（Ⅱ）圓x+y=t上的任意點M（x，y）處的切線方程為xx+yy=t. 5分

當t∈（0，b）時，圓x+y=t上的任意點都在橢圓內(nèi)，故此圓在點A處的切線必交橢圓于兩個不同的點Q、Q，因此點Q（x，y），Q（x，y）的坐標是方程組

的解.                                        6分

（1）當y0時，由①式得y=.代入②式，得x+2=2b，

即（2x+y）x－4txx+2t－2by=0.                        7分

于是x+x=，xx=，

yy=·=

==.

若QQ⊥QQ，則xx+ yy=+==0.

所以，3t－2b（x+y）=0.                               8分

在區(qū)間（0，b）內(nèi)，此方程的解為t=b.              9分

（2）當y=0時，必有x0，

同理求得在區(qū)間（0，b）內(nèi)的解為t=b.              10分

另一方面，當t=b時，可推出xx+ yy=0，從而QQ⊥QQ.        11分

綜上所述，t=b∈（0，b）使得所述命題成立.                12分

考點：橢圓的方程與性質(zhì)

點評：解決的關(guān)鍵是熟練的根據(jù)橢圓的性質(zhì)來求解方程，同時借助與聯(lián)立方程組的思想和韋達定理來表示得到參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題。