Question

（2008•寧波模擬）已知曲線f（x）=x³+ax²+bx+1，（a，b∈R）在（1，2）處的切線方程是y=4x-2，則函數(shù)y=f（x）的極大值為

2

．

Answer 1

分析：利用函數(shù)的導數(shù)，求出函數(shù)導數(shù)在x=1時的導函數(shù)值，就是切線的斜率，利用（1，2）是函數(shù)上的點，得到a，b的關系式，求出a，b的值，通過導數(shù)為0，判斷函數(shù)的絕對值點，求出極大值即可．

解答：解：因為f（x）=x³+ax²+bx+1，所以f′（x）=3x²+2ax+b，
令x=1得f′（1）=3+2a+b．
由已知f′（1）=4，所以3+2a+b=4．即2a+b=1…①
又（1，2）是曲線f（x）=x³+ax²+bx+1上的點，得2=1+a+b+1，a+b=0…②．
解①②得．a=1，b=-1，
所以f（x）=x³+x²-x+1；
∴f′（x）=3x²+2x-1；
令f′（x）=0，即3x²+2x-1=0．解得x=-1，或x=

1

3

，
x∈（-∞，-1）函數(shù)是增函數(shù)，x∈（-1，

1

3

）時函數(shù)是減函數(shù)；x∈(

1

3

，+∞)，函數(shù)是增函數(shù)，
所以x=-1時函數(shù)取得絕對值，
f（-1）=（-1）³+（-1）²-（-1）+1=2．
故答案為：2．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及方程組的求解等有關問題，屬于中檔題．