Question

如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別在邊上，，現(xiàn)將△沿線段折起到△位置，使得．

（1）求五棱錐的體積；

（2）求平面與平面的夾角．

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）由于△沿線段折起到△的過(guò)程中，平面平面始終成立.所以平面.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719133077934436/SYS201411171913417329908741_DA/SYS201411171913417329908741_DA.011.png">，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別在邊上，.即可求得結(jié)論.

（2）依題已建立空間直角坐標(biāo)系.求出兩個(gè)平面的法向量，由法向量的夾角得到平面與平面的夾角.

試題解析：（1）連接，設(shè)，由是正方形，，

得是的中點(diǎn)，且，從而有，

所以平面，從而平面平面， 2分

過(guò)點(diǎn)作垂直且與相交于點(diǎn)，

則平面 4分

因?yàn)檎叫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719133077934436/SYS201411171913417329908741_DA/SYS201411171913417329908741_DA.035.png">的邊長(zhǎng)為，，

得到：，

所以，

所以

所以五棱錐的體積； 6分

（2）由（1）知道平面，且，即點(diǎn)是的交點(diǎn)，

如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則， 7分

設(shè)平面的法向量為，則

，

，

令，則， 9分

設(shè)平面的法向量，則，

，

令，則，即， 11分

所以，即平面與平面夾角. 12分

考點(diǎn)：1.線面垂直的判定與性質(zhì).2.二面角.3.空間想象力.