Question

（19）在如圖所示的幾何體中，平面，平面，，且，是的中點(diǎn).

（I）求證：；

（II）求與平面所成的角.

Answer 1

本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力.

方法一：

（I）證明：因?yàn)?SUB>，是的中點(diǎn)，

所以.

又平面，

所以.

（II）解：過(guò)點(diǎn)作平面，垂足是，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)，.

是直線CM和平面所成的角.

因?yàn)?SUB>平面，

所以，

又因?yàn)?SUB>平面，

所以，

則平面，因此.

設(shè)，，

在直角梯形中，

，是的中點(diǎn)，

所以，，，

得是直角三角形，其中，

所以

在中，，

所以，

故與平面所成的角是.

方法二：

如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為軸和軸，過(guò)點(diǎn)作與平面垂直的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，.，.

（I）證明：因?yàn)?SUB>，，

所以，

故.

（II）解：設(shè)向量與平面垂直，則，，

即

因?yàn)?SUB>，，

所以，z₀= -2，

即，

直線與平面所成的角是與夾角的余角，

所以，

因此直線與平面所成的角是.