Question

設(shè)函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅱ）求函數(shù)的極值點(diǎn)；

（Ⅲ）證明對(duì)任意的正整數(shù)，不等式都成立．

 

Answer 1

【答案】

解：函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052204544281255072/SYS201205220456370156991617_DA.files/image002.png">.

，令，則在上遞增，在上遞減，.當(dāng)時(shí)，，

在上恒成立.

即當(dāng)時(shí),函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增。

（II）分以下幾種情形討論：（1）由（I）知當(dāng)時(shí)函數(shù)無極值點(diǎn).

（2）當(dāng)時(shí)，，時(shí)，

時(shí)，時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn)。

（3）當(dāng)時(shí)，解得兩個(gè)不同解，.

當(dāng)時(shí)，，，

此時(shí)在上有唯一的極小值點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，

在都大于0 ，在上小于0 ，

此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).

綜上可知，時(shí)，在上有唯一的極小值點(diǎn)；

時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；

時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn)。

（III） 當(dāng)時(shí)，令則在上恒正，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒有.即當(dāng)時(shí)，有，

對(duì)任意正整數(shù)，取得

 

【解析】略