(2012•臺州模擬)已知奇函數(shù)f(x)為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),f(1)=0,當(dāng)x>0時,xf′(x)-f(x)<0,則f(x)>0的解集為(  )
分析:由條件可得在(0,+∞)上,g(x)=
f(x)
x
為減函數(shù).由g(-x)=g(x)可得函數(shù)g(x)為定義域上的偶函數(shù),數(shù)形結(jié)合可得不等式等價于 x•g(x)>0,等價于
x>0
g(x)>0
,或
x<0
g(x)<0
,由此求得不等式的解集.
解答:解:由題意可得f(-1)=-f(1)=0,設(shè)g(x)=
f(x)
x
,則g(x)的導(dǎo)數(shù)為g′(x)=
xf′(x)-f(x)
x2

∵當(dāng)x>0時總有xf′(x)<f(x)成立,即當(dāng)x>0時,g′(x)恒小于0,
∴當(dāng)x>0時,函數(shù)g(x)=
f(x)
x
為減函數(shù).
又∵g(-x)=
f(-x)
-x
=
-f(x)
-x
=g(x),
∴函數(shù)g(x)為定義域上的偶函數(shù).
又∵g(1)=
f(1)
1
=0,
∴函數(shù)g(x)的圖象性質(zhì)類似如圖:數(shù)形結(jié)合可得
不等式f(x)>0等價于 x•g(x)>0等價于
x>0
g(x)>0
,或
x<0
g(x)<0
,解得 0<x<1,或x<-1,
故選 B.
點(diǎn)評:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•臺州模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx-
1
2
ax2-2x(a<0)
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;
(Ⅱ)若a=-
1
2
且關(guān)于x的方程f(x)=-
1
2
x+b在[1,4]上恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•臺州模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,定義d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|為兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)之間的“折線距離”.則原點(diǎn)O(0,0)與直線2x+y-
5
=0
上一點(diǎn)P(x,y)的“折線距離”的最小值是
5
2
5
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•臺州模擬)已知函數(shù)f(x)=log2(ax2+2x-3a).
(Ⅰ)當(dāng)a=-1時,求該函數(shù)的定義域和值域;
(Ⅱ)如果f(x)≥1在區(qū)間[2,3]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•臺州模擬)在邊長為6的等邊△ABC中,點(diǎn)M滿足
BM
=2
MA
,則
CM
CB
等于
24
24

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•臺州模擬)設(shè)|
a
|=|
b
|=|
a
+
b
|≠0
,那么
a
-
b
b
的夾角為(  )

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