Question

若函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足：f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=0，則下列結(jié)論正確的是

①②③

．
①f（x）是周期函數(shù)；②f（x）是奇函數(shù)；③f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱；④f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，依次分析4個(gè)命題：對(duì)于①，令y=2，有f（x+2）=f（x）+f（2），又由f（2）=0，則f（x+2）=f（x），由函數(shù)的周期性的定義可得①正確；對(duì)于②，令x=y=0，有f（0）=f（0）+f（0），可得f（0）=0，再令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），即f（x）=-f（-x），由奇函數(shù)的定義可得②正確；對(duì)于③，由①可得f（x+2）=f（x），又由②可得f（x）=-f（-x），則有f（x+2）=-f（-x），由函數(shù)的對(duì)稱性可得③正確；對(duì)于④，由③可得④錯(cuò)誤；綜合可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，依次分析4個(gè)命題：
對(duì)于①，在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=2，有f（x+2）=f（x）+f（2），又由f（2）=0，則f（x+2）=f（x），可得f（x）是周期函數(shù)，故①正確；
對(duì)于②，在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=0，有f（0）=f（0）+f（0），可得f（0）=0，再令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），即f（x）=-f（-x），可得f（x）是奇函數(shù)，故②正確；
對(duì)于③，由①可得f（x+2）=f（x），又由②可得f（x）=-f（-x），則有f（x+2）=-f（-x），即f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，③正確；
對(duì)于④，由③可得，f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，則f（x）不會(huì)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，④錯(cuò)誤；
故答案為①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用，涉及函數(shù)周期性、奇偶性、對(duì)稱性的判斷，解此類題目，一般用特殊值法．