Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b，g（x）=e^x（cx+d）若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0，2），且在點P處有相同的切線y=4x+2．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）若x≥-2時，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）對f（x），g（x）進行求導，已知在交點處有相同的切線及曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0，2），從而解出a，b，c，d的值；
（II）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的導函數(shù)，通過對k的討論，判斷出F（x）的最值，從而判斷出f（x）≤kg（x）恒成立，從而求出k的范圍．

解答：解：（I）由題意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，
而f′（x）=2x+a，g′（x）=e^x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，
從而a=4，b=2，c=2，d=2；
（II）由（I）知，f（x）=x²+4x+2，g（x）=2e^x（x+1）
設(shè)F（x）=kg（x）-f（x）=2ke^x（x+1）-x²-4x-2，則F′（x）=2ke^x（x+2）-2x-4=2（x+2）（ke^x-1），
由題設(shè)得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x₁=-lnk，x₂=-2，
（i）若1≤k≤e²，則-2＜x₁≤0，從而當x∈（-2，x₁）時，F(xiàn)′（x）＜0，當x∈（x₁，+∞）時，F(xiàn)′（x）＞0，
即F（x）在（-2，x₁）上減，在（x₁，+∞）上是增，故f（x）在[-2，+∞）上的最小值為F（x₁），
而f（x₁）=-x₁（x₁+2）≥0，故當x≥-2時，f（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立，
（ii）若k=e²，則F′（x）=2e²（x+2）（e^x-e^-2），從而當x∈（-2，+∞）時，F(xiàn)′（x）＞0，
即F（x）在（-2，+∞）上是增，而f（-2）=0，故當x≥-2時，f（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立，
（i）ii若k＞e²時，則F′（-2）=-2ke^-2+2=-2e^-2（k-e²）＜0，故當x≥-2時，f（x）≤kg（x）不可能成立，
綜上，k的取值范圍是[1，e²]．

點評：此題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，解題的關(guān)鍵是能夠利用導數(shù)工具研究函數(shù)的性質(zhì)，此題是一道中檔題．