Question

某市電信寬帶私人用戶月收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表：

方案	類(lèi)        別	基本費(fèi)用	超時(shí)費(fèi)用
甲	包月制	70元
乙	有限包月制（限60小時(shí)）	50元	0.05元/分鐘（無(wú)上限）
丙	有限包月制（限30小時(shí)）	30元	0.05元/分鐘（無(wú)上限）

假定每月初可以和電信部門(mén)約定上網(wǎng)方案．
（Ⅰ）若某用戶每月上網(wǎng)時(shí)間為66小時(shí)，應(yīng)選擇

乙

方案最合算；
（Ⅱ）王先生因工作需要在家上網(wǎng)，所在公司預(yù)測(cè)其一年內(nèi)每月的上網(wǎng)時(shí)間T（小時(shí)）與月份n的函數(shù)關(guān)系為T=f(n)=

3n+237

4

 (1≤n≤12， n∈N)．若公司能報(bào)銷(xiāo)王先生全年上網(wǎng)費(fèi)用，問(wèn)公司最少會(huì)為此花費(fèi)多少元？
（Ⅲ）一年后，因公司業(yè)務(wù)變化，王先生每月的上網(wǎng)時(shí)間T（小時(shí)）與月份n的函數(shù)關(guān)系為T=g(n)=10(

3

5

)n+30，  n∈N*．假設(shè)王先生退休前一直從事此項(xiàng)業(yè)務(wù)，公司在花費(fèi)盡量少的前提下，除為其報(bào)銷(xiāo)每月的基本費(fèi)用外，對(duì)于所有的超時(shí)費(fèi)用，公司考慮一次性給予補(bǔ)貼a元，試確定最合理的a的值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，我們分別計(jì)算出用戶每月上網(wǎng)時(shí)間為66小時(shí)時(shí)，三種方案的費(fèi)用，比較后即可得到答案．
（II）根據(jù)表中三種方案的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，我們可以計(jì)算出在不同時(shí)間長(zhǎng)度時(shí)，選擇交費(fèi)方案的最佳方式，結(jié)合已知中公司預(yù)測(cè)其一年內(nèi)每月的上網(wǎng)時(shí)間T（小時(shí)）與月份n的函數(shù)關(guān)系為T=f(n)=

3n+237

4

 (1≤n≤12， n∈N)，我們易計(jì)算出各份的最佳方案，累加即可得到公司最少會(huì)為此花費(fèi)多少元？
（Ⅲ）由已知中王先生每月的上網(wǎng)時(shí)間T（小時(shí)）與月份n的函數(shù)關(guān)系為T=g(n)=10(

3

5

)n+30，  n∈N*．我們可根據(jù)表中交費(fèi)方式，得到選擇丙方案合算，進(jìn)而計(jì)算出所有的超時(shí)費(fèi)用，進(jìn)而得到一次性給予補(bǔ)貼a元的值．

解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ） 某用戶每月上網(wǎng)時(shí)間為66小時(shí)時(shí)
男方案需要費(fèi)用：70元；
乙方案需要費(fèi)用：68元；
丙方案需要費(fèi)用：138元；
故選乙方案最合算
故答案為：乙．…（2分）
（Ⅱ）當(dāng)T≤30時(shí)，選擇丙方案合算；
當(dāng)T＞30時(shí)，由30+3（T-30）≤50，得30＜T≤36

2

3

，此時(shí)選擇丙方案合算；
當(dāng)36

2

3

≤T≤60時(shí)，選擇乙方案合算；
當(dāng)T＞60時(shí)，由60+3（T-30）≤70，得60＜T≤66

2

3

，此時(shí)選擇乙方案合算；
當(dāng)T≥66

2

3

時(shí)，選擇甲方案合算．
綜上可得：當(dāng)T∈(0， 36

2

3

]，選擇丙方案合算；…（3分）
當(dāng)T∈[36

2

3

， 66

2

3

]時(shí)，選擇乙方案合算；…（4分）
當(dāng)T∈[66

2

3

， +∞)時(shí)，選擇甲方案合算．…（5分）
∵f(n+1)-f(n)=

3

4

，∴{f（n）}是首項(xiàng)為f（1）=60，公差為d=

3

4

的等差數(shù)列，且每月上網(wǎng)時(shí)間逐月遞增．
令T=

3n+237

4

≥66

2

3

，得n≥9

8

9

．
∴前9個(gè)月選擇乙方案，最后3個(gè)月選擇甲方案上網(wǎng)花費(fèi)最少．…（7分）
此時(shí)，一年的上網(wǎng)總費(fèi)用為

9

n=1

[50+3(

3n+237

4

-60)]+3×70=450+

9

n=1

9

4

(n-1)+210=450+81+210=741．
答：一年內(nèi)公司最少會(huì)為王先生花費(fèi)上網(wǎng)費(fèi)741元．…（9分）
（Ⅲ）由T=g(n)=10×(

3

5

)n+30  (n∈N*)知，g（1）=36，g（n）＞30，且{g（n）}是遞減數(shù)列，
∴選擇丙方案合算．…（10分）
若上網(wǎng)n個(gè)月，王先生的超時(shí)總費(fèi)用為

n

k

3[g(n)-30]=

n

k

30(

3

5

)n=45[1-(

3

5

)n]．…（13分）
答：公司考慮一次性給予補(bǔ)貼a元，最合理的a的值為45元．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，無(wú)窮等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用，難度適中．