Question

已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f(x+

π

2

)為偶函數(shù)，對(duì)于函數(shù)y=f（x）有下列幾種描述：
①y=f（x）是周期函數(shù)②x=π是它的一條對(duì)稱軸；③（-π，0）是它圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；
④當(dāng)x=

π

2

時(shí)，它一定取最大值；其中描述正確的是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性對(duì)每一個(gè)選支進(jìn)行逐一判定即可．

解答：解：∵y=f(x+

π

2

)為偶函數(shù)
∴f（-x+

π

2

）=f（x+

π

2

），對(duì)稱軸為

π

2

而y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)
∴f（-x+

π

2

）=-f（x-

π

2

）=f（x+

π

2

）
即f（x+

π

2

）=-f（x-

π

2

），f（x+π）=-f（x），f（x+2π）=f（x）
∴y=f（x）是周期函數(shù)，故①正確
x=

π

2

+2kπ（k∈Z）是它的對(duì)稱軸，故②不正確
（-π，0）是它圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故③正確
當(dāng)x=

π

2

時(shí)，它取最大值或最小值，故④不正確
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)、對(duì)稱性、周期性等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．