Question

如圖，在六面體ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG，且AC=EF=1，AB=AD=DE=DG=2．
（1）求證：平面BEF⊥平面DEFG；
（2）求證：BD∥平面ACGD；
（3）求三棱錐A-BCF的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面ABCD∥平面DEFG，證出AB∥DE．結(jié)合題意，得ADEB為平行四邊形，所以BE∥AD．而AD⊥平面DEFG，得到BE⊥平面DEFG，從而證出平面BEF⊥平面DEFG．
（2）取DG的中點為M，連接AM、FM．結(jié)合題中位置關(guān)系和長度數(shù)據(jù)，證出AB∥FM且AB=FM，所以四邊形ABFM是平行四邊形，得BF∥AM，再結(jié)合線面平行的判定定理，可得BD∥平面ACGD．
（3）根據(jù)題意，易得F到面ABC的距離為AD．將三棱錐A-BCF的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐F-ABC的體積，計算出△ABC的面積，再結(jié)合錐體體積公式，不難求出三棱錐A-BCF的體積．

解答：解：（1）∵平面ABCD∥平面DEFG，平面ABCD∩平面ADEB=AB，
平面DEFG∩平面ADEB=DE
∴AB∥DE．
∵AB=DE，∴ADEB為平行四邊形，得BE∥AD．…（2分）
∵AD⊥平面DEFG，∴BE⊥平面DEFG，
∵BE?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面DEFG．…（4分）
（2）取DG的中點為M，連接AM、FM，則
∵EF∥DM，且EF=DM=1
∴四邊形DEFM是平行四邊形，
∴DE∥FM，DE=FM，
又∵DE∥AB，DE=AB，∴AB∥FM，AB=FM，…（6分）
∴四邊形ABFM是平行四邊形，得BF∥AM，
∵BF?平面ACGD，AM⊆平面ACGD，
∴BF∥平面ACGD．…（8分）
（3）∵平面ABCD∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，
∴F到面ABC的距離為AD．
由此可得三棱錐A-BCF的體積為
VA-BCF=VF-ABC=

1

3

•S△ABC•AD=

1

3

×(

1

2

×1×2)×2=

2

3

．…（12分）

點評：本題給出特殊的六面體，求證線面平行、面面垂直并且求錐體體積．考查了線面垂直、線面平行的判定與性質(zhì)和面面平行、面面垂直的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．