Question

已知斜率為k（k≠0）的直線l過拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)F且交拋物線于A、B兩點(diǎn)．設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若-2＜k＜-1時(shí)，點(diǎn)M到直線l'：3x+4y-m=0（m為常數(shù)，m＜

1

3

）的距離總不小于

1

5

，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AB的中點(diǎn)M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線的方程為：y=k（x-1），得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，x₁+x₂=

1

k2

（2k²+4）=2+

4

k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k

，由此能求出點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）由（1）知，點(diǎn)M（1+

2

k2

，

2

k

），由題意得

1

5

(

6

k2

+

8

k

-m+3)≥

1

5

，由此能求出m的取值范圍．

解答：解：設(shè)AB的中點(diǎn)M（x，y）；A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直線過拋物線y²=4x得焦點(diǎn)F（1，0），
∴設(shè)直線的方程為：y=k（x-1），①
將①²代入拋物線方程中可得：
k²（x-1）²=4x，
∴k²x²-（2k²+4）x+k²=0，②
∴x₁+x₂=

1

k2

（2k²+4）=2+

4

k2

，
∵y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k

，
又∵x=

(x1+x2)

2

=1+

2

k2

，…③
y=

y1+y2

2

=

2

k

，
∴

2

k2

=

y2

2

，…④
∴將④代入③可得：
x=1+

y2

2

，
∴y²=2x-2．
所以點(diǎn)M的軌跡方程為：y²=2x-2．
（2）由（1）知，點(diǎn)M（1+

2

k2

，

2

k

），
∵m＜

1

3

，∴d=

1

5

|

6

k2

+

8

k

-m+3|=

1

5

(

6

k2

+

8

k

-m+3)，
由題意得

1

5

(

6

k2

+

8

k

-m+3)≥

1

5

，
m≤

6

k2

+

8

k

+2對(duì)-2＜k＜-1恒成立，
∵-2＜k＜-1時(shí)，

6

k2

+

8

k

+2的最小值是-

2

3

，
故m的取值范圍是{m|m≤-

2

3

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算推理能力和論證求解能力，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．