Question

已知橢圓的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，左頂點為A，若|F₁F₂|=2，橢圓的離心率為
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且，求證：直線l恒過定點．

Answer 1

解：（ I）由題意得（4分）
（II）設(shè)P（x₀，y₀），A（-2，0），F(xiàn)₁（-1，0）
=
由橢圓方程得-2≤x≤2，二次函數(shù)開口向上，對稱軸x=-6＜-2
當(dāng)x=-2時，取最小值0，
當(dāng)x=2時，取最大值12的取值范圍是[0，12]（9分）
（III）
由△＞0得4k²+3＞m²※
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，，

∴（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0
即（1+k²）x₁x₂+（2+km）（x₁+x₂）+4+m²=0
∴4k²-16km+7m²=0均適合※（12分）

（13分）
分析：（ I）由題意可得到：從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè)P（x₀，y₀）利用向量的數(shù)量積即可墳得，再結(jié)合橢圓方程得-2≤x≤2，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求得的取值范圍；
（III）先將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的數(shù)量積公式即可求得m值，從而解決問題．
點評：本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題及推理計算能力．本題為中檔題，需要熟練運用設(shè)而不求韋達(dá)定理．