Question

【題目】選修4﹣1：幾何證明選講
如圖，⊙O和⊙O′相交于A，B兩點(diǎn)，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C、D兩點(diǎn)，連接DB并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E．證明：

（1）ACBD=ADAB；
（2）AC=AE．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AC與⊙O'相切于點(diǎn)A，故∠CAB=∠ADB，

同理可得∠ACB=∠DAB，

∴△ACB∽△DAB，∴ = ，

∴ACBD=ADAB．

（2）

解：∵AD與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠AED=∠BAD，

又∠ADE=∠BDA，∴△EAD∽△ABD，

∴ = ，∴AEBD=ADAB．

再由（1）的結(jié)論ACBD=ADAB 可得，AC=AE．

【解析】（1）利用圓的切線的性質(zhì)得∠CAB=∠ADB，∠ACB=∠DAB，從而有△ACB∽△DAB， = ，由此得到所證．（2）利用圓的切線的性質(zhì)得∠AED=∠BAD，又∠ADE=∠BDA，可得△EAD∽△ABD， = ，AEBD=ADAB，再結(jié)合（I）的結(jié)論ACBD=ADAB 可得，AC=AE