Question

【題目】一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為q的點(diǎn)電荷約束在一個(gè)很大的固定金屬板上方很近的位置，當(dāng)它們之間的距離為d時(shí)釋放點(diǎn)電荷．請(qǐng)問：這個(gè)帶電質(zhì)點(diǎn)到達(dá)金屬板需要多長(zhǎng)的時(shí)間？重力的作用忽略不計(jì)．

Answer 1

【答案】

【解析】

由電像法易知，當(dāng)點(diǎn)電荷q與固定金屬板間的相距r時(shí)，點(diǎn)電荷q與固定金屬板間的相互作用力為兩個(gè)帶有q電量的等量異種電荷相距2r時(shí)的相互作用力，即為

上式表明，q與固定金屬板間的相互作用力相當(dāng)于在板上的O點(diǎn)放置一電量為的點(diǎn)電荷與q的相互作用力。如圖甲所示。

顯然，，由開普勒定律知，點(diǎn)電荷q向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡應(yīng)為一橢圓，其長(zhǎng)軸即為d（此處橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)在兩端點(diǎn)處），從開始運(yùn)動(dòng)到達(dá)O點(diǎn)的時(shí)間為橢圓運(yùn)動(dòng)的半個(gè)周期．

在滿足并做橢圓運(yùn)動(dòng)的前提下，由開普勒的周期定律知，電荷運(yùn)動(dòng)的周期的平方與軌道半長(zhǎng)軸的三次方成正比．為了求得此條件下粒子運(yùn)動(dòng)的周期，我們可以構(gòu)建一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為q的點(diǎn)電荷繞固定點(diǎn)電荷以半徑做圓周運(yùn)動(dòng)的模型，如圖乙所示。

在這種模型中有

解得

此周期亦為點(diǎn)電荷g向Q做相應(yīng)的橢圓運(yùn)動(dòng)的周期，故g向金屬板上的O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

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