Question

【題目】質(zhì)量噸的宇宙飛船，在離月球高度處沿圓周軌道繞月球運(yùn)行。為了能過(guò)渡到著陸的軌道上，于某個(gè)時(shí)刻關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)。從火箭噴口射出的氣流速度為.月球半徑，月球表面上自由落體的加速度.

（1）當(dāng)在軌道上A點(diǎn)關(guān)閉制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)，飛船要降落在月球上B點(diǎn)處，需要消耗多少燃料？如圖（a）所示。

（2）為了使飛船在A點(diǎn)具有指向月球中心方向的動(dòng)量，并且過(guò)渡到在C點(diǎn)與月球相切的軌道上，如圖（b）所示，需要消耗多少燃料？

Answer 1

【答案】(1)29kg (1)116kg

【解析】

(1)在飛船從A點(diǎn)過(guò)渡到B點(diǎn)的情況下，由能量守恒定律給出

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根據(jù)開普勒第二定律速度矢量在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。如果時(shí)間間隔短，這個(gè)面積近似等于以為底和以R為高的三角形面積：

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從這些關(guān)系式得到，在關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，飛船在A點(diǎn)速度為

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在關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)前飛船沿圓周軌道運(yùn)行，它的速度為

.

發(fā)動(dòng)機(jī)應(yīng)使飛船速度減少

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因?yàn)榘l(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間很短，可以運(yùn)用動(dòng)量守恒定律，得

，

式中m為所噴出的燃料質(zhì)量。

對(duì)此式進(jìn)行變形，得

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(2)在這種情況下解答與1。的情況類似，區(qū)別僅在于矢量的方向垂直于矢量的方向，所以，

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最終得到

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