Question

【題目】已知A、B兩個小球質(zhì)量相同，A、B、地面三者之間的碰撞均為彈性碰撞，初始位置如圖所示，、均為已知，求A、B所構(gòu)成的系統(tǒng)形成周期性運動的條件，要求不出現(xiàn)三體相碰。

Answer 1

【答案】當(dāng)（、，，、為一奇一偶）時，系統(tǒng)做周期性運動，且不出現(xiàn)三體相碰的狀態(tài)。

【解析】

解析：A、B球質(zhì)量相等，故彈性碰撞時交換適動狀態(tài)，因此，兩球的運動可視為獨立的運動，互不影響，只是A、B球在碰撞后相互替代。若A、B球獨立運動，則有如下運動狀態(tài)。

A球的運動狀態(tài)：A球從處自由落體，碰地后豎直上拋，其運動周期為。

B球的運動狀態(tài)：B球從處自由落體，碰地后豎直上拋，其運動周期為。

顯然，運動過程中A球始終在B球的上方，則A、B共同運動的周期T為與的最小公倍數(shù)。

所以T存在的條件為有理數(shù)，即

（、，，、互質(zhì)）。

另外，不出現(xiàn)三體相碰的條件為、為一奇一偶。所以，所求條件為

當(dāng)（、，，、為一奇一偶）時，系統(tǒng)做周期性運動，且不出現(xiàn)三體相碰的狀態(tài)。