Question

【題目】已知函數(shù)，其中常數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）當(dāng)時，若函數(shù)有三個不同的零點，求的取值范圍；

（3）設(shè)定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為，當(dāng)時，若在內(nèi)恒成立，則稱為函數(shù)的“類對稱點”，請你探究當(dāng)時，函數(shù)是否存在“類對稱點”，若存在，請最少求出一個“類對稱點”的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 和；(2) ；(3)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）由f′(x)="2x-(a+2)+" ==

，能求出當(dāng)a＞2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

（2）a=4，f′（x）=2x+-6，故f′(x)="2x+"-6≥4-6，不存在6x+y+m=0這類直線的切線．

（3）y=g(x)=(2x0+-6)(x-x0)+ -6x0+4lnx0，令h（x）=f（x）-g（x），由此入手，能夠求出一個“類對稱點”的橫坐標(biāo)．

解：（1）由可知，函數(shù)的定義域為，

且.

因為，所以.

當(dāng)或時， ；當(dāng)時， ，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）當(dāng)時， .

所以，當(dāng)變化時，， 的變化情況如下：

	（0,1）	1	（1,2）	2	（2，
	+	0	—	0	+
	單調(diào)遞增	取極大值	單調(diào)遞減	取極小值	單調(diào)遞增

所以，

.

函數(shù)的圖象大致如下：

所以若函數(shù)有三個不同的零點， .

（3）由題意,當(dāng)時， ，則在點P處切線的斜率；所以

.

令，

則， .

當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時， 從而有時，；

當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時， 從而有時， ；所以在上不存在“類對稱點”.

當(dāng)時， ，所以在上是增函數(shù)，故

所以是一個類對稱點的橫坐標(biāo).