Question

【題目】一個(gè)大容器中裝有互不相溶的兩種液體，它們的密度分別為和．現(xiàn)讓一長(zhǎng)為L、密度為的均勻木棍，豎直地放在上面液體內(nèi)，其下端離兩液體分界面的距離為3L/4，由靜止開(kāi)始下落．試計(jì)算木棍到達(dá)最低處所需的時(shí)間．假定由于木棍運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的液體阻力可以忽略不計(jì)，且兩液體都足夠深，保證木棍始終都在液體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，既未露出液面，也未與容器相碰．

Answer 1

【答案】

【解析】

1．用S表示木棍的橫截面積，從靜止開(kāi)始到其下端到達(dá)兩液體交界面為止，在這過(guò)程中，木棍受向下的重力和向上的浮力．由牛頓第二定律可知，其下落的加速度為．

用表示所需的時(shí)間，則，

由此解得．

2．木棍下端開(kāi)始進(jìn)入下面液體后，用表示木棍在上面液體中的長(zhǎng)度，這時(shí)木棍所受重力不變，仍為，但浮力變?yōu)?/span>，當(dāng)時(shí)，浮力小于重力；當(dāng)時(shí)，浮力大于重力，可見(jiàn)有一個(gè)合力為零的平衡位置．用表示在此平衡位置時(shí)，木棍在上面液體中的長(zhǎng)度，則此時(shí)有

，

由此可得．

即木棍的中點(diǎn)處于兩液體交界處時(shí)，木棍處于平衡狀態(tài)，取一坐標(biāo)系，其原點(diǎn)位于交界面上，豎直方向?yàn)?/span>z軸，向上為正，則當(dāng)木棍中點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，木棍所受合力為零，當(dāng)中點(diǎn)坐標(biāo)為z時(shí)，所受合力為

式中．

這時(shí)木棍的運(yùn)動(dòng)方程為

為沿z方向的加速度為

所以，．

由此可知為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其周期為．

為了求木棍同時(shí)．在兩種液體中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，先求振動(dòng)的振幅A．木棍下端剛進(jìn)入下面液體時(shí)，其速度為

由機(jī)械能守恒可知，

式中為此時(shí)木棍中心距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。

由上述各式可得A=L．

由此可知，從木棍下端開(kāi)始進(jìn)入下面液體到棍中心到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)所走的距離是振幅的一半，從參考圓（如圖所示）上可知，對(duì)應(yīng)的為30°，對(duì)應(yīng)的時(shí)間為，因此木棍從下端開(kāi)始進(jìn)入下面液體到上端進(jìn)入下面液體所用的時(shí)間，即棍中心從到所用的時(shí)間為

3．從木棍全部浸入下面液體開(kāi)始，受力情況的分析和1中類似，只是浮力大于重力，所以做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度的數(shù)值與一樣，其過(guò)程和1中情況相反地對(duì)稱，所用時(shí)間．

4．總時(shí)間為．