Question

【題目】碰撞后動(dòng)能之和等于碰撞前動(dòng)能之和的碰撞，稱為彈性碰撞。

（1）質(zhì)量分別為，的兩個(gè)小球以同方向的速度，發(fā)生彈性碰撞，已知，碰后速度分別記為，。假設(shè)碰撞是彈性碰撞，試列出方程求解得出，。

（2）光滑的水平桌面上平放著一個(gè)半徑為R，內(nèi)壁光滑的固定圓環(huán)，質(zhì)量分別為m、2m、m的小球A、B、C在圓環(huán)內(nèi)側(cè)的位置和速度大小方向均在圖甲中標(biāo)出。初始B小球靜止，已知所有碰撞為彈性碰撞。試問：經(jīng)過多長時(shí)間，A、B、C三個(gè)小球又第一次恢復(fù)到原來位置？

Answer 1

【答案】（1）， （2）

【解析】

（1）由動(dòng)量守恒定律有

。

由碰撞前后動(dòng)能之和保持不變有

。

聯(lián)立解得，。

（2）建立以圓心為坐栝原點(diǎn)，AB方向?yàn)?/span>x軸正方向的平面直角坐標(biāo)系，如圖乙所示。小球A運(yùn)動(dòng)半周后與小球B發(fā)生碰撞。此過程經(jīng)歷時(shí)間為

。

設(shè)碰撞后小球A的速度為，小球B的速度為，規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)樗俣鹊恼�方向，由�?/span>1）問的結(jié)論可知

；。

之后，小球B與小球C以時(shí)間發(fā)生碰撞。由（1）問的結(jié)論可知碰撞后有

；。

由解得。

在時(shí)間內(nèi)，小球B轉(zhuǎn)過的角度。

小球B與小球C碰撞后，A、C兩小球經(jīng)時(shí)間發(fā)生碰撞。由于兩小球質(zhì)量相等，碰撞后交換速度，有

；。

由解得。

小球A轉(zhuǎn)過的角度為。

系統(tǒng)與初始狀態(tài)的相對(duì)位置為順時(shí)針轉(zhuǎn)過了。

所經(jīng)歷的時(shí)間為。

要回到初始位置，設(shè)需要上述n個(gè)周期，則

，

解得。

當(dāng)時(shí)，n有最小值，且，故

。