Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+alnx． （Ⅰ）當a=﹣2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）+ 在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x2+alnx，∴函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）． 當a=﹣2時， = ．
當x變化時，f′（x）和f（x）的值的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	﹣	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

由上表可知，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）、單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）、極小值是f（1）=1．
（Ⅱ） 由g（x）=x2+alnx+ ，得 ．
若函數(shù)g（x）為[1，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，則g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2x﹣ + ≥0在[1，+∞）上恒成立．
也即a≥ 在[1，+∞）上恒成立．
令φ（x）= ，則φ′（x）=﹣ ．
當x∈[1，+∞）時，φ′（x）=﹣ ﹣4x＜0，
∴φ（x）= 在[1，+∞）上為減函數(shù)，∴φ（x）max=φ（1）=0．
∴a≥0．
∴a的取值范圍為[0，+∞）
【解析】（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．當a=﹣2時， = ，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．（Ⅱ） 由g（x）=x2+alnx+ ，得 ，令φ（x）= ，則φ′（x）=﹣ ．由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．