Question

【題目】有人提出了一種不用火箭發(fā)射人造地球衛(wèi)星的設(shè)想．其設(shè)想如下：沿地球的一條弦挖一通道，如圖甲所示．在通道的兩個(gè)出口處A和B，分別將質(zhì)量為M的物體和質(zhì)量為m的待發(fā)射衛(wèi)星同時(shí)自由釋放，只要M比m足夠大，碰撞后，質(zhì)量為m的物體，即待發(fā)射的衛(wèi)星就會(huì)從通道口B沖出通道．設(shè)待發(fā)衛(wèi)星上有一種裝置，在待發(fā)衛(wèi)星剛離開(kāi)出口B時(shí)，立即把待發(fā)衛(wèi)星的速度方向變?yōu)檠卦撎幍厍蚯芯�(xiàn)的方向，但不改變速度的大�。�這樣待發(fā)衛(wèi)星便有可能繞地心運(yùn)動(dòng)，成為一個(gè)人造衛(wèi)星．若人造衛(wèi)星正好沿地球表面繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)，則地心到該通道的距離為多少？已知M=20m，地球半徑．假定地球是質(zhì)量均勻分布的球體，通道是光滑的，兩物體間的碰撞是彈性的．

Answer 1

【答案】

【解析】

位于通道內(nèi)、質(zhì)量為m的物體距地心O為r時(shí)（如圖乙所示），它受到地球的引力可以R。表示為

①

式中是以地心O為球心、以r為半徑的球體所對(duì)應(yīng)的那部分地球的質(zhì)量，若以表示地球的密度，此質(zhì)量可以表示為

②

于是，質(zhì)量為m的物體所受地球的引力可以改寫(xiě)為

． ③

作用于質(zhì)量為m的物體的引力在通道方向的分力的大小為

， ④

， ⑤

為r與通道的中垂線(xiàn)OC間的賣(mài)角，x為物體位置到通道中點(diǎn)C的距離，力的方向指向通道的中點(diǎn)C．在地面上物體的重力可以表示為

⑥

式中是地球的質(zhì)量。由上式可以得到

． ⑦

由以上各式可以求得

． ⑧

可見(jiàn)，f與彈簧的彈力有同樣的性質(zhì)，相應(yīng)的“勁度系數(shù)”為

． ⑨

物體將以C為平衡位置做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)周期為．取x=0處為“彈性勢(shì)能”的零點(diǎn)，設(shè)位于通道出口處的質(zhì)量為m的靜止物體到達(dá)x=0處的速度為，則根據(jù)能量守恒，有

， ⑩

式中h表示地心到通道的距離．

解以上有關(guān)各式，得

可見(jiàn)，到達(dá)通道中點(diǎn)C的速度與物體的質(zhì)量無(wú)關(guān)．

設(shè)想讓質(zhì)量為M的物體靜止于出口A處，質(zhì)量為m的物體靜止于出口B處，現(xiàn)將它們同時(shí)釋放，因?yàn)樗鼈兊恼駝?dòng)周期相同，故它們將同時(shí)到達(dá)通道中點(diǎn)C處，并發(fā)生彈性碰撞．碰撞前，兩物體速度的大小都是，方向相反，剛碰撞后，質(zhì)量為M的物體的速度為V，質(zhì)量為m的物體的速度為v，若規(guī)定速度方向由A向B為正，則有

，

解式和式，得．

質(zhì)量為m的物體是待發(fā)射的衛(wèi)星，令它回到通道出口B處時(shí)的速度為u，則有

由式和⑨解得

u的方向沿著通道．根據(jù)題意，衛(wèi)星上的裝置可使u的方向改變成沿地球B處的切線(xiàn)方向，如果u的大小恰能使小衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，則有

由式并注意到式⑥，可以得到，

已知，則得．