Question

【題目】如圖所示，在半徑為的圓筒形真空管中有兩個隔板，將管內(nèi)分為三個區(qū)域，兩隔板中央各有小孔和，兩孔間距為．在左邊的區(qū)域中有加速電場，在中間的區(qū)域Ⅱ中有沿管軸方向的勻強磁場，在右邊的區(qū)域Ⅲ中既無電場也無磁場，區(qū)域Ⅰ中的陰極連續(xù)發(fā)射的電子經(jīng)其中的電場加速后，使穿過小孔的電子形成發(fā)射束進入?yún)^(qū)域Ⅱ．設(shè)穿過小孔的這些電子的速度沿管軸方向的分量均為，設(shè)電子之間的相互作用可以忽略．當將區(qū)域Ⅱ中沿管軸方向的磁感應(yīng)強度的大小調(diào)到某值時，從小孔進入?yún)^(qū)域Ⅱ的電子便能穿過小孔射出，把這些磁場的最小值記為．取從到的方向為正方向，區(qū)域Ⅱ中的磁場隨時間變化的曲線如圖乙所示，即從起沿正方向，每經(jīng)時間反向一次，是的變化周期．從開始，電子束連續(xù)地從小孔進入?yún)^(qū)域Ⅱ，設(shè)凡遇管壁的電子均被管壁吸收．

（1）為使從小孔進入?yún)^(qū)域Ⅱ的電子能穿過小孔到達區(qū)域Ⅲ，試求磁場變化周期的最小值．

（2）若取磁場變化周期，試在圖乙的時間軸上標明電子能經(jīng)小孔到達區(qū)域Ⅲ的時間區(qū)間．

（3）在進入?yún)^(qū)域Ⅲ的電子束中，電子運動方向與管軸之間夾角的最大值是多少？

Answer 1

【答案】(1)(2)發(fā)射電子束能穿過到達區(qū)域Ⅲ的時間如圖中時間t軸上的波紋線所示。圖中(3)

【解析】

（1）由題設(shè)，經(jīng)小孔進入?yún)^(qū)域Ⅱ的發(fā)散電子束速度沿管軸的分量均為，這些斜入射的電子在的作用下作等距螺旋運動，螺旋運動的周期，與速度無關(guān)，螺距為，式中是電子的質(zhì)量，是電子電量絕對值．

為使這些電子都能從小孔射出（不計被管壁吸收者），要求等于的整數(shù)倍，即

，，

故磁場的大小應(yīng)為，．

可見，磁場的最小值為，與此相對應(yīng)，螺距剛好等于孔與孔的間距，即．

現(xiàn)在，設(shè)隨時間按圖乙變化，周期為，如果這些電子在進入?yún)^(qū)域Ⅱ后運動的時間不足，即改變方向，則電子將偏離原螺旋線，不能到達，不能進入?yún)^(qū)域Ⅲ．因此，為使這些電子能夠到達并進入?yún)^(qū)域Ⅲ，磁場方向變化的周期必須滿足，故的最小值．

（2）若，則從進入?yún)^(qū)域Ⅱ的斜入射電子中，在磁場方向沿正向的前一半時間內(nèi)進入的那些電子可以穿過射出，但在磁場方向沿正向的后一半時間內(nèi)進入的那些電子就無穿過射出了．換言之，能穿過射出的電子必須在區(qū)域Ⅱ中經(jīng)歷時間，而且在該時間內(nèi)磁場的方向需保持不變．因此，發(fā)射電子束能穿過到達區(qū)域Ⅲ的時間如圖丙中時間軸上的波紋線所示．

丙

（3）設(shè)斜入射到區(qū)域Ⅱ中的電子速度在垂直管軸方向的分量為，則在洛侖茲力作用下，電子圓軌道運動的半徑為，在這些電子中只有滿足的那些電子能在管內(nèi)運動時不與管壁相碰，從而能到達并進入?yún)^(qū)域Ⅲ，即要求．利用，可得．

穿過進入?yún)^(qū)域Ⅲ后，這些電子做直線運動，其運動方向與管軸之間的夾角應(yīng)滿足，

故最大夾角為．

本題雖然將電子的運動分為三個區(qū)域，是典型的多過程的串接模型，但討論的重點在區(qū)域Ⅱ，在這一區(qū)域中，既要討論電子運動過點所需要的幾何約束（包括沿方向上的與垂直于方向上的），同時要考慮運動的時間約束，計算的難度雖然不大，但涉及的信息量比較大，學(xué)生難免顧此失彼．

能否對復(fù)雜的運動過程進行正確分析，是鑒別一個人能力高低非常有效的方式，加強狀態(tài)與過程分析的訓(xùn)練，是競賽學(xué)生必須訓(xùn)練的基本功之一．