Question

【題目】如圖，某城市有一塊半徑為40的半圓形（以為圓心， 為直徑）綠化區(qū)域，現(xiàn)計(jì)劃對其進(jìn)行改建，在的延長線上取點(diǎn)，使，在半圓上選定一點(diǎn)，改建后的綠化區(qū)域由扇形區(qū)域和三角形區(qū)域組成，其面積為，設(shè)

（1）寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出的取值范圍；

（2）試問多大時(shí)，改建后的綠化區(qū)域面積最大.

Answer 1

【答案】（1）S＝1600sinx＋800x，0＜x＜π；（2）當(dāng)∠AOC為時(shí)，改建后的綠化區(qū)域面積S最大．

【解析】試題分析：（1）求出扇形區(qū)域AOC、三角形區(qū)域COD的面積，即可求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式S（x），并指出x的取值范圍；（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論

試題解析：（1）因?yàn)樯刃?AOC的半徑為 40 m，∠AOC＝x rad，

所以 扇形AOC的面積S扇形AOC＝＝800x，0＜x＜π． ………………… 2分

在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，

所以△COD 的面積S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．……………… 4分

從而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π． ………… 6分

（2）由（1）知，S(x)＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．

S′(x)＝1600cosx＋800＝1600(cosx＋)． ………… 8分

由 S′(x)＝0，解得x＝．

從而當(dāng)0＜x＜時(shí)，S′(x)＞0；當(dāng)＜x＜π時(shí)， S′(x)＜0 ．

因此 S(x)在區(qū)間(0， )上單調(diào)遞增；在區(qū)間(，π)上單調(diào)遞減． ……………… 11分

所以 當(dāng)x＝，S(x)取得最大值．

答：當(dāng)∠AOC為時(shí)，改建后的綠化區(qū)域面積S最大． ……………… 14分