Question

【題目】形狀如同通常鉛筆的正六角棱柱，質(zhì)量為M，密度均勻，其橫截面六邊形邊長(zhǎng)為。

試求：

（1）該棱柱體相對(duì)于它的中心對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

（2）該棱柱體相對(duì)于它的某一棱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）這里求的是規(guī)則形狀的幾何體關(guān)于它的中心對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。從轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義出發(fā)，我們可將棱柱沿截面的徑向均勻分割成個(gè)厚度均為、棱長(zhǎng)為l的六棱柱薄殼，如圖甲甲所示，確定任意一個(gè)這樣的薄殼對(duì)中心軸的元轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，然后求和即可，即。

現(xiàn)在，先給出一矩形薄板關(guān)于與板的一條邊平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。板的尺寸標(biāo)注如圖乙所示，質(zhì)量為m，且均勻分布，軸與板的距離為h，沿b邊將板無(wú)限切分成n條長(zhǎng)、寬的窄條，則有

.

回到先前的六棱柱薄殼元上，由對(duì)稱性可知，薄殼元對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是，即

，

式中是六棱柱的密度，大小為

.

則六棱柱體對(duì)中心對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

.

（2）.利用平行軸定理，我們可求得六棱柱相對(duì)于棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為