Question

【題目】如圖所示，和為兩個(gè)共軸的薄凸透鏡，為其主軸，的焦距，口徑（直徑）為，的焦距，口徑（直徑）為。兩鏡相距。AB為一與透鏡共軸的直徑為的均勻發(fā)光圓盤，它有清晰的邊緣，把它放在左側(cè)20cm處，它在右側(cè)垂直于的光屏Ρ上成像。

（1）求光屏應(yīng)放在何處。

（2）現(xiàn)發(fā)現(xiàn)光屏上的像的中間部分較亮，邊緣部分較暗。為了使像的邊緣部分也能和中間部分一樣亮，但又不改變像的位置和大小，可以在上插放一個(gè)共軸的薄凸透鏡。問：應(yīng)放在何處？口徑（直徑）至少要多大？焦距應(yīng)是多少？

Answer 1

【答案】(1)光屏應(yīng)放在右側(cè)10cm處(2) 應(yīng)放在右側(cè)20cm處；的口徑（直徑）應(yīng)等于或大于2.0cm， (3)

【解析】

（1）發(fā)光圓盤AB經(jīng)折射后成像在焦右側(cè)，根據(jù)物距、像距與焦距的關(guān)系，有

由，，求得像距。像的直徑為

通過成像在光屏Ρ上，根據(jù)物距、像距與焦距的關(guān)系，有

。

由，，求得像距。所以光屏應(yīng)放在右側(cè)10cm處。

（2）原來光學(xué)系統(tǒng)的物像關(guān)系如圖（a）所示。如果要插放一凸透鏡而保持像的位置和大小都不變，則此透鏡必須放在中間像處，這樣對(duì)來說，物距等于零，像距也等于零，即的位置和大小都不因光束通過而改變。的口徑（直徑）只要等于或大于，則射至的全部光束就都能通過。所以的口徑（直徑）應(yīng)等于或大于2.0cm，像的明暗程度由投射到光屏上像點(diǎn)的光束大小決定。用作圖法可知，由圓盤中心發(fā)出、通過的光束正好能全部進(jìn)入，而從邊緣部分發(fā)出，通過的光束只有一部分進(jìn)入，如圖（b）所示。因而像的邊緣部分較中心部分暗，的作用在于使邊緣部分光束通過后向主軸偏折，使之能進(jìn)入，即可達(dá)到像各部分明暗均勻的效果。

如果和相對(duì)處于共軛位置，而且透鏡經(jīng)過后所成的像的大小恰好等于的口徑，即正好是的像，則由處射出的所有光線都將到達(dá)上相應(yīng)的位置，即全部能通過，像就會(huì)明暗均勻。從以上的觀點(diǎn)考慮，可算出的焦距如下：，

由；

解得

的像的直徑，正好等于的直徑，符合要求。