Question

【題目】在一個大湖的岸邊（可視湖岸為直線）A處停放著一只小船，纜繩突然斷開，小船被風刮跑，以的速度勻速向湖中行駛，其方向與湖岸成角。另有一人在纜繩斷開時從A點出發(fā)，他先沿湖岸走一段后再入水游泳去追船。已知人在岸上走的速度，在水中游泳的速度為。問：此人能否追上小船？若能，小船被人追上的最大速度為多少？

Answer 1

【答案】可見小船被人追上時的最大速度為，故人能追上小船。

【解析】

解析1：由于人在水中的游速小于小船在水中的速度，因此，人只有先沿岸跑一段路程后再入水游泳追船，這樣才有可能追上小船。設(shè)法求出小船被人追上的最大速度，即可知人能否追上小船。

設(shè)船速為v，人追上小船的時間為t，設(shè)人在岸上跑的時間是整個追趕時間的k倍，人要追上船，則船運動的路線與人運動的兩段路線構(gòu)成一個三角形，如圖甲所示，由余弦定理得

，

整理得。

要使上列方程在范圍內(nèi)有解，則需，故有

，

所以，

配方整理得，

兩邊開方，解得。

可見小船被人追上時的最大速度為，故人能追上小船。

解析2：用作圖法可以求出在追上小船的時間t內(nèi)，人在岸上跑和在水中游所能達到的區(qū)域。若在此時間內(nèi)，船沒有跑出該區(qū)域，就證明船能被人追上，由船與該區(qū)域邊界的交點，可以求出船能被人追上的最大速度。

如圖乙所示，設(shè)人從A點起在時間t內(nèi)沿湖岸跑過路程達到B點，。若人從A點起，在水中游時間t，則可以到達的區(qū)域是以A為圓心，為半徑的半圓，若人先在岸上跑時間到C點，然后再在水中游時間，則，在時間內(nèi)人可以到達以C為圓心、為半徑的半圓區(qū)域。同理，選取不同的，可以得到不同的入水點C，以C為圓心、為半徑可以作出無數(shù)個半圓。由數(shù)學的包絡(luò)線可知，這些半圓之公切線為BE和OD。因此，在追趕時間t內(nèi)，人所能達到的區(qū)域邊界為湖岸AB和切線OD、BE以及圓弧DE。由于船的速度矢量與邊界BE相交于點M，則當時，船能被人追上，可見，要在M點追上船，必須在岸邊選擇一個合適的入水點。

因為，

為直角三角形，所以

，

解得。

又因為，

所以，而，

所以，

故為等腰直角三角形。

由得，

則。

可見小船被人追上時的最大速度為，故人能追上小船。