【題目】如圖所示,豎直的光滑墻面上有和兩個(gè)釘子,二者處于同一水平高度,間距為,有一原長(zhǎng)為、勁度系數(shù)為的輕橡皮筋,一端由釘固定,另一端系有一質(zhì)量為的小球,其中為重力加速度,釘子和小球都可視為質(zhì)點(diǎn),小球和任何物體碰撞都是完全非彈性碰撞而且不發(fā)生粘連.現(xiàn)將小球水平向右拉伸到與釘距離為的點(diǎn),釘恰好處于橡皮筋下面并始終與之光滑接觸.初始時(shí)刻小球獲得大小為、方向豎直向下的速度,試確定此后小球沿豎直方向的速度為零的時(shí)刻.
【答案】
【解析】
以釘為坐標(biāo)原點(diǎn)建坐標(biāo)系,如圖所示.小球在被釋放后受到本身重力和橡皮筋的彈力兩個(gè)力的作用.設(shè)小球相對(duì)于原點(diǎn)(即釘)的位置由位矢表示,則彈力可表示為
. ①
小球的運(yùn)動(dòng)方程為坐標(biāo)系下分解為
, ②
. ③
定義方向新坐標(biāo),③式可改寫為
. ④
由②和④式知小球在水平和豎直方向都做簡(jiǎn)諧振動(dòng),其振動(dòng)方程可表示為
, ⑤
. ⑥
利用參考圓可得到小球速度的表達(dá)式:
, ⑦
. ⑧
將如下初始條件
, ⑨
, ⑩
,
代入⑤至⑧式,可解得振幅和及位相和.再利用,上述振動(dòng)方程和速度表達(dá)式可用已知量表示為
,
,
,
.
由式可求出小球速度沿方向分量第一次為零的時(shí)刻,即,其中
.
此后,如果小球沿方向的振動(dòng)沒有中斷,當(dāng)小球沿方向的振動(dòng)到達(dá)最大振幅處時(shí),式右端便等于零.然而,按式右端等于零所求出的其他時(shí)刻并不是滿足題意的解.因?yàn)樵诎?/span>式求出的豎直速度等于零的第二個(gè)時(shí)刻之前,小球?qū)⒑?/span>釘發(fā)生碰撞,碰撞時(shí)刻為
.
此刻,按和兩式可知
,
.
這恰好是釘?shù)奈恢?/span>.這樣,小球?qū)⒃?/span>時(shí)和釘發(fā)生完全非彈性碰撞,碰撞后小球速度為零;由于碰撞過程時(shí)間極短,時(shí)刻就是小球速度沿方向分量第二次為零的時(shí)刻.碰撞后小球并不和釘粘連,所以小球?qū)⒀?/span>方向做一維的簡(jiǎn)諧振動(dòng),由④式可知此振動(dòng)周期為
.
每經(jīng)過半個(gè)振動(dòng)周期,都會(huì)出現(xiàn)速度為零的情況(此時(shí)自然有).這樣,除和式確定的前兩個(gè)特定時(shí)刻之外,每當(dāng)
時(shí),小球速度都為零,因而其沿方向的速度分量也為零.
本題是第29屆全國高中物理競(jìng)賽決賽試題.
振動(dòng)問題由于較為容易地構(gòu)造出綜合模型,因此不論是復(fù)賽還是決賽,歷來都是命題的熱點(diǎn)區(qū)域.
在平時(shí)的訓(xùn)練中,對(duì)于正交的方向上的振動(dòng),我們討論較多的是平衡位置處于一點(diǎn)的情況,本題的命題人別出心裁地構(gòu)造了一個(gè)正交兩方向上振動(dòng)的平衡位置不在一點(diǎn)的模型.雖然我們?cè)謩e討論過類似于本題中水平方向與豎直的振動(dòng)情形,但將它們合在一起進(jìn)行討論,至少在此題之前,可能不曾有過,但對(duì)于優(yōu)秀的高中生而言,只要真正領(lǐng)會(huì)了振動(dòng)的合成,本題的處理也不過是情境復(fù)雜一點(diǎn)、運(yùn)算復(fù)雜一些而已.
額外說明一點(diǎn):近年的高中物理競(jìng)賽,不論是復(fù)賽還是決賽,對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力的要求越來越高,運(yùn)算量大是一種常態(tài),沒有過硬的運(yùn)算能力,很難沖出重圍.
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科目:高中地理 來源: 題型:
【題目】讀圖“某城市規(guī)劃簡(jiǎn)圖”,完成下列小題。
【1】圖例中甲、乙、丙、丁分別代表的功能區(qū)是
A. 甲——住宅區(qū) 乙——文教區(qū) 丙——工業(yè)區(qū) 丁——商業(yè)區(qū)
B. 甲——住宅區(qū) 乙——工業(yè)區(qū) 丙——文教區(qū) 丁——商業(yè)區(qū)
C. 甲——商業(yè)區(qū) 乙——住宅區(qū) 丙——工業(yè)區(qū) 丁——文教區(qū)
D. 甲——商業(yè)區(qū) 乙——文教區(qū) 丙——工業(yè)區(qū) 丁——住宅區(qū)
【2】若圖中工業(yè)區(qū)布局合理,則該地主導(dǎo)風(fēng)向最有可能是
A. 西北風(fēng)B. 東北風(fēng)
C. 東南風(fēng)D. 西南風(fēng)
【3】北京市二環(huán)路呈“凸”字形的主要影響因素是
A. 地形B. 地價(jià)
C. 氣候D. 歷史
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科目:高中地理 來源: 題型:
【題目】讀經(jīng)緯網(wǎng)圖,完成下面小題。
【1】從B地到C地,若不考慮地形因素,最近的走法是
A. 一直向東
B. 先向東南,再向東,最后向東北走
C. 一直向西走
D. 先向東北,再向東南走
【2】緯線AB約是DE長(zhǎng)度的
A. 一半B. 等長(zhǎng)
C. 1.5倍D. 2倍
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科目:高中地理 來源: 題型:
【題目】 用紙糊窗,是我國一項(xiàng)傳統(tǒng)民俗,它與當(dāng)?shù)丨h(huán)境聯(lián)系緊密。如圖示意我國北方某地10月份,居民正將刷過豆油,中間夾有麻繩的雙層紙,用面漿糊在外窗上,以保護(hù)木制窗欞不受雨雪腐蝕和風(fēng)吹日曬,延長(zhǎng)使用壽命。
據(jù)此完成下面小題。
【1】如圖某地最可能在( 。
A.海河平原B.松嫩平原
C.渭河谷地D.河套地區(qū)
【2】北方該地流傳“九月不糊窗,九月糊窗小鬼往里望”的俗語,說明九月當(dāng)?shù)兀ǎ?/span>
A.氣溫高,紙易脫落B.造紙?jiān)线未成熟
C.降水多,紙易受潮D.農(nóng)忙時(shí)節(jié)無暇顧及
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科目:高中地理 來源: 題型:
【題目】徑流量是指一定時(shí)段內(nèi)通過河流某一斷面的水量,下圖示意我國某河流上游一氣象站近50年來月平均溫度和降水狀況以及4個(gè)水文站平均的月徑流量。讀圖回答下面小題。
【1】下列關(guān)于河流上游的敘述,正確的是
A.地下水補(bǔ)給量大B.結(jié)冰期約為3個(gè)月
C.年平均溫度約10℃D.植被覆蓋度較好
【2】該河流可能是
A.淮河B.海河C.黃河D.嫩江
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科目:高中地理 來源: 題型:
【題目】 下圖為華北某城市示意圖,該市由a、b、c三個(gè)行政區(qū)組成,甲處為該市熱電廠,乙處為該市鋼鐵廠。鋼鐵廠規(guī)模在華北地區(qū)排名前列,近年來市民要求鋼鐵退城、向外搬遷的呼聲很高。
據(jù)此完成下面小題。
【1】該市的主導(dǎo)風(fēng)向最可能為
A.東北風(fēng)、西南風(fēng)B.南風(fēng)、北風(fēng)
C.東南風(fēng)、西北風(fēng)D.東風(fēng)、西風(fēng)
【2】鋼鐵退城將使a區(qū)
①居民收入普遍降低 ②住房?jī)r(jià)格有所上漲 ③交通出行更加便利 ④土地資源有所浪費(fèi)
A.①②B.②③C.③④D.④①
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科目:高中地理 來源: 題型:
【題目】下圖為非洲大陸局部區(qū)域某月份平均氣溫(單位:°C)分布圖。讀圖完成下列問題。
【1】控制圖中①②③三條等溫線基本走向及數(shù)值遞變的主導(dǎo)因素是
A. 地形 B. 洋流
C. 緯度 D. 海陸位置
【2】圖中R地的氣溫?cái)?shù)值,可能是
A. 16 B. 20 C. 23 D. 27
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科目:高中地理 來源: 題型:
【題目】讀我國1978—2007年三次產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)變動(dòng)示意圖,完成下面小題。
【1】1978-2007年期間我國( )
A.第一產(chǎn)業(yè)所占比重最小,并呈持續(xù)下降趨勢(shì)B.第二產(chǎn)業(yè)所占比重最大并迅速上升
C.第三產(chǎn)業(yè)比重呈波動(dòng)上升趨勢(shì)D.第一、二、三產(chǎn)業(yè)均呈持續(xù)上升趨勢(shì)
【2】1978-2007年期間我國處于( )
A.以傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)為主體的發(fā)展階段B.工業(yè)化發(fā)展階段
C.工業(yè)化衰落階段D.高效益綜合發(fā)展階段
【3】1978-2007年期間我國的區(qū)域發(fā)展特點(diǎn)表現(xiàn)為( )
A.低水平均衡發(fā)展?fàn)顟B(tài)B.低水平不均衡發(fā)展?fàn)顟B(tài)
C.高水平均衡發(fā)展?fàn)顟B(tài)D.不均衡加速發(fā)展?fàn)顟B(tài)
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科目:高中地理 來源: 題型:
【題目】讀圖世界部分區(qū)域年等降水量線分布示意圖,完成下面小題。
【1】導(dǎo)致死海沿岸降水稀少的主要因素是( )
A.緯度位置B.海陸位置
C.地形D.植被
【2】以色列全國的生產(chǎn)、生活用水幾乎全部靠四通八達(dá)的地下輸水管道供給,主要目的是( )
A.避免污染B.減少蒸發(fā)
C.節(jié)約耕地D.降低成本
【3】以色列借助北水南調(diào)工程在南部發(fā)展灌溉農(nóng)業(yè),主要是為了利用當(dāng)?shù)貎?yōu)越的( )
A.光熱條件B.土壤條件
C.水源條件D.交通條件
【4】以色列耕地少,自然條件惡劣,但農(nóng)副產(chǎn)品60%用于出口,主要依靠的是( )
A.悠久的耕作歷史B.豐富的勞動(dòng)力資源
C.先進(jìn)的農(nóng)業(yè)科技D.廣闊的消費(fèi)市場(chǎng)
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