Question

【題目】三個半徑同為R、質量同為m的勻質光滑小球放在光滑水平桌面上，用一根不可伸長的均勻橡皮筋把它們約束起來。再如圖所示地將一個半徑也為R，質量是上述各小球質量3倍的勻質光滑小球放在上述3個小球中間正上方，因受橡皮筋約束，下面3個小球并未分離。試求：

（1）放置上面的小球后，橡皮筋張力增量；

（2）將橡皮筋剪斷后，上面的小球碰到桌面時的速度u。

Answer 1

【答案】(1) （2）

【解析】

稱上面的小球為球1，球心為，下面3個小球分別為球2、球3、球4，球心對應為、、。

（1）連結、、、，如圖乙所示，則各球心之間的距離均為2R。對圖中的角，易知有

，。

設球1對下面每個小球壓力為N，則球2、3、4對球1反作用力的合力為3mg（球1的質量設為3m），即有

。

由此可得。

球2、3、4各自所受力N的水平分力為

。

如圖丙所示，橡皮筋張力T的增量應正好用來平衡。易得到

，即。

（2）橡皮筋剪斷后，球1開始向下運動，球2、3，4在球1的壓力作用下做水平運動。球1運動一段時間后，會與球2、3、4分離，分離的條件是相互間作用力。球1與下面3個小球分離后，將在重力作用下做勻加速直線運動。根據系統的對稱性，可知球2、3、4運動速率相同，速度方向沿中心O到各頂點（i=1、2、3）連線的延長線方向。如圖丁所示，設的向下速度為，沿方向的速度為，直角三角形中的用代表，角的初始值應滿足，而后角減小。假設角小到某值時，球1與其余3個小球之間的正壓力N為零，則彼此將分離。此時隨一起運動的參考系為慣性系，相對的速度為

。

因球1與球2尚未分離，故仍有

。

的條件為球1相對球2運動的向心力恰好為球1所受重力的分力，即有

。

與上式聯立，可解得

，。

此時球1下降高度為。

據機械能守恒，有

。

將、表述式代入，可解得。

代入表述式后，可得。

球1與下面3個小球分離后，即做自由落體運動。球1與桌面相遇時的速度u與初速度間的關系為

，

其中h為下落高度，應有：。

最后可算得球1碰到桌面時的速度為。