Question

【題目】兩艘相同的宇宙飛船分別用隨飛船攜帶的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)從環(huán)繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的空間站發(fā)射出來，飛船恰好能逃離太陽系，飛船恰好能落向太陽的中心.若火箭工作時(shí)間相同，試證飛船比飛船需要有更大功率的火箭.假設(shè)地球圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道為圓形，忽略空間站與地球的相對(duì)速度，忽略火箭噴發(fā)的燃料質(zhì)量.

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

飛船、的質(zhì)量均記為，地球繞太陽運(yùn)動(dòng)速度記為，地球與太陽相距，太陽質(zhì)量記為.因忽略空間站與地球的相對(duì)速度，空間站相對(duì)太陽的速度也為，為使恰好能逃離太陽系，要求它的總機(jī)械能為零.假設(shè)火箭工作后使的速度為，則有

.

節(jié)省的方法是讓飛船順著原空間站運(yùn)動(dòng)方向發(fā)射，故發(fā)射的附加速度即為上式中，可以求得

，

即有.

被發(fā)射后，僅當(dāng)它的切向速度降為零時(shí)才能恰好落向太陽的中心，為節(jié)省起見可讓徑向速度為零.可見為反向發(fā)射，發(fā)射的附加速度為.

為使、各有附加速度、，發(fā)動(dòng)機(jī)需做功，而做功的計(jì)算必須在某參考系中進(jìn)行.考慮到需要應(yīng)用動(dòng)量守恒及功能關(guān)系，應(yīng)選取慣性系進(jìn)行計(jì)算.

先取空間站未發(fā)射、前，與它一起以速度運(yùn)動(dòng)的慣性系，因很大，故在一段不太長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)可近似處理為慣性系.通常空間站質(zhì)量，不必考慮飛船發(fā)射前后的變化.在系中，發(fā)射的前后系統(tǒng)動(dòng)量守恒式為

，

其中為發(fā)射后噴出的燃?xì)馐箍臻g站獲得的相對(duì)系的速度.

火箭做功便為，

計(jì)算可得.

同樣可算得，在系中飛船的火箭做功量為

.

因，故，發(fā)射時(shí)間相同的條件下，發(fā)射功率的大小關(guān)系便為，即比需要有更大功率的火箭.

若改取太陽作慣性系，則必須注意中火箭做功并不是.在此系中，發(fā)射前后的動(dòng)量守恒關(guān)系為

，

其中為空間站相對(duì)太陽的末速度.

由上式可得，

中火箭做功為

，

整理得.

可見，.

同樣可導(dǎo)得中火箭做功也為

，

.

所得結(jié)論與在系中所得結(jié)論一致.

對(duì)于不同的系統(tǒng)，物體的動(dòng)能與勢(shì)能并不一定是相同的，轉(zhuǎn)換系統(tǒng)時(shí)，必然對(duì)應(yīng)著動(dòng)能與勢(shì)能的相應(yīng)轉(zhuǎn)化.

我們?cè)诎l(fā)射衛(wèi)星或研究太空的飛行體時(shí)，通常都會(huì)涉及發(fā)射體從一個(gè)星球系統(tǒng)向另一個(gè)星球系統(tǒng)過渡的情況，如發(fā)射體從地球系統(tǒng)到太陽系統(tǒng)，或從地球系統(tǒng)到月球系統(tǒng)，如從能量的角度來考查對(duì)象的規(guī)律特征，都存在著不同系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)化問題，這一點(diǎn)往往被同學(xué)們忽視或感到迷惑不解的.其實(shí)，只要明白，動(dòng)能是與速度相關(guān)的，而選擇不同的參照系，物體的運(yùn)動(dòng)速度便不相同，其動(dòng)能自然不再相同，而勢(shì)能是物體間相互作用的能量，選擇不同的系統(tǒng)，其作用情況不同，那么，其勢(shì)能也是不相同的，這樣，解題時(shí)自然也就不會(huì)再迷惑.