Question

【題目】半徑為，質(zhì)量為的三個(gè)相同的剛性球放在光滑的水平桌面上，兩兩互相接觸。用一個(gè)高為的圓柱形剛性圓筒（上下均無(wú)底）將此三球套在筒內(nèi)，圓筒內(nèi)徑取適當(dāng)值，使得各球間以及球與筒壁之間均保持接觸，且無(wú)相互作用力�，F(xiàn)取一質(zhì)量為，半徑為的第四球，放在三球上方正中。設(shè)四個(gè)球的表面、圓筒內(nèi)壁表面均由相同物質(zhì)構(gòu)成，其相互之間的最大靜摩擦系數(shù)均為。問(wèn)：取何值時(shí)，用手輕輕豎直向上提起圓筒即可將四球一起提起來(lái)？

Answer 1

【答案】

【解析】

當(dāng)上面的小球放上去以后,系統(tǒng)的俯視、側(cè)視及受力示意圖如圖所示,

圖中均為上面小球?qū)ο旅媲虻淖饔昧?/span>,當(dāng)豎直向上提起圓筒時(shí),對(duì)臨界情況,先討論是處先滑動(dòng)還是處先滑動(dòng)。

由對(duì)下球球心取力矩,有

對(duì)與力線交點(diǎn)取力矩,并考慮到下面球的重力,易得

。

考慮到各處的摩擦系數(shù)相等,故處摩擦力先達(dá)到最大值,處先滑動(dòng)。

此時(shí)。

對(duì)四個(gè)球,有.

對(duì),有

.

將相關(guān)條件代入后,整理得

,

解得。

(整理中取,其值為平衡時(shí)的最大值)

設(shè),則，

所以，,

所以,,故。

又由于上球不能太小,否則會(huì)從中間掉下,必須

，故，

所以,，

即.

本題是球的堆放問(wèn)題,由于下面三個(gè)球的情況一樣,具有對(duì)稱性,于是我們只需要討論上面的球與下面某一個(gè)球的受力情況即可,這種對(duì)稱性的應(yīng)用在各類問(wèn)題的研究中都比較常見。

如同本題的示意圖,將空間問(wèn)題降維至平面問(wèn)題是我們處理此類問(wèn)題必備的基本功這類試題能很好地考查答題者的空間思維能力。

本題另一個(gè)值得注意的點(diǎn)是,有同學(xué)得到的上限后,便認(rèn)為大功告成殊不知,還存在一個(gè)小球下漏的問(wèn)題,遺憾地漏掉了下限,這自然體現(xiàn)了答題者在思維全面性方面的缺陷,也是許多競(jìng)賽生在測(cè)試時(shí)常會(huì)做卻做不對(duì),或做對(duì)但做不全的原因。