Question

【題目】如圖甲所示，一物體從地球表面發(fā)射，初速度大小為（式中為第一宇宙速度），初速度方向與豎直方向成角。其中。地球視為質(zhì)量均勻分布的球體，忽略空氣阻力和地球自轉(zhuǎn)的影響.請(qǐng)解答以下問(wèn)題：

(1)意味著什么？

(2)物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有哪些物理量守恒？

(3)求物體能到達(dá)的最大高度，并討論和兩種特殊情況。

Answer 1

【答案】(1)由題意知。這意味著物體發(fā)射的初速度小于第二宇宙速度，物體不能脫離地球引力的束縛，只能繞地球運(yùn)動(dòng)。

(2)引力場(chǎng)是有心力場(chǎng)，物體在地球引力作用下的運(yùn)動(dòng)是平面運(yùn)動(dòng)。如果不考慮空氣阻力，物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能及角動(dòng)量均守恒。

(3) .當(dāng)和兩種特殊情況見(jiàn)解析。

【解析】

(1)設(shè)物體的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，地球半徑為R。物體從地球表面發(fā)射，成為繞地球運(yùn)行的人造地球衛(wèi)星，所需的最小發(fā)射速度即為第一宇宙速度。

由萬(wàn)有引力定律及牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有

， ①

解得

.

物體脫離地球引力的束縛，成為環(huán)繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的一顆人造行星，物體的最小發(fā)射速度即為第二宇宙速度。

由機(jī)械能守恒定律，有

，

解得.

由題意知。這意味著物體發(fā)射的初速度小于第二宇宙速度，物體不能脫離地球引力的束縛，只能繞地球運(yùn)動(dòng)。

(2)引力場(chǎng)是有心力場(chǎng)，物體在地球引力作用下的運(yùn)動(dòng)是平面運(yùn)動(dòng)。如果不考慮空氣阻力，物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能及角動(dòng)量均守恒。

(3)設(shè)物體運(yùn)動(dòng)離地面的最大高度為H，在該處速度為。

由機(jī)械能守恒定律，有

③

由角動(dòng)量守恒定律，有

. ④

聯(lián)立①③④方程，得

.

解關(guān)于的一元二次方程，得

. ⑤

⑤即為物體達(dá)到最大高度表達(dá)式。

討論：

I.當(dāng)發(fā)射角度，⑤式簡(jiǎn)化為

，

解得（舍去），.

關(guān)于結(jié)果作兩點(diǎn)討論：

i.如果，則根據(jù)（g為地球表面的重力加速度）及，

解得.

這是我們所熟知的物體豎直上拋運(yùn)動(dòng)的結(jié)果。

ii.如果，則.

Ⅱ.當(dāng)發(fā)射角度時(shí)，⑤式簡(jiǎn)化為

平拋.

解得.

此解的物理意義分析如下：

i.當(dāng)時(shí)，，表明物體無(wú)法拋離地面或物體繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

ii.當(dāng)時(shí)，物體繞地球眼橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，，對(duì)應(yīng)物體在近地點(diǎn)；，對(duì)應(yīng)物體在遠(yuǎn)地點(diǎn)。

因此，，即為物體在角度時(shí)所能達(dá)到的最大高度。

當(dāng)角度時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)所能達(dá)到的最大高度還有另一種解法：

如圖乙所示，設(shè)物體在遠(yuǎn)地點(diǎn)的曲率半徑為。該處速度為。有萬(wàn)有引力定律及牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有

.

物體眼橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，半長(zhǎng)軸及半短軸的長(zhǎng)度記為，則由數(shù)學(xué)知識(shí)有

.

聯(lián)立以上各式及方程④解得

.

本題(3)問(wèn)，亦可以在極坐標(biāo)系中建立方程求解。

將物體的發(fā)射速度沿徑向和角向分解，寫(xiě)成

， ⑦

或

⑧

物體達(dá)到最大高度H時(shí)，徑向速度，角向速度為，由機(jī)械能守恒定律及角動(dòng)量守恒定律有

， ⑨

. ⑩

聯(lián)立⑦⑨⑩式解得

.

Ⅰ.當(dāng)發(fā)射角度時(shí)，.所得結(jié)果同上。

Ⅱ.當(dāng)發(fā)射角度時(shí)，.所得結(jié)果同上。