Question

（2011?東城區(qū)一模）如圖所示的電路中，電源兩端的電壓保持不變．閉合開關(guān)S、S₁，當(dāng)滑片P移至滑動(dòng)變阻器R₂的A端時(shí)，電壓表V₁的示數(shù)為U₁，電壓表V₂的示數(shù)為U₂，電流表A的示數(shù)為I₁，滑動(dòng)變阻器R₂消耗的電功率P₂為3W．當(dāng)只閉合開關(guān)S，將滑片P移至滑動(dòng)變阻器R₂的中點(diǎn)時(shí)，電壓表V₁的示數(shù)為U₁′，電壓表V₂的示數(shù)為U₂′，電流表A的示數(shù)為I₂．閉合開關(guān)S、S₁，當(dāng)滑片P移至滑動(dòng)變阻器R₂的B端時(shí)，電流表A的示數(shù)為I₃，電阻R₃的電功率為P₃．
已知U₁=

4

5

U₁′，U₂=4U₂′．求：
（1）電流I₁與I₂的比值．
（2）電功率P₃的大小．
（3）通過斷開、閉合開關(guān)及移動(dòng)滑動(dòng)變阻器滑片P，電路所消耗的最小電功率P_min．（結(jié)果保留1位小數(shù)）

Answer 1

分析：（1）先畫出開關(guān)閉合和斷開、滑動(dòng)變阻器處于不同位置時(shí)的等效電路圖；根據(jù)串聯(lián)電路的特點(diǎn)和歐姆定律求出圖1和圖2中通過R₃的電流關(guān)系，從而求出電流I₁與I₂的比值．
（2）根據(jù)串聯(lián)電路的特點(diǎn)和歐姆定律分別求出圖1和圖2中R₂兩端的電壓，利用U₁=

4

5

U₁′求出R₁、R₂兩電阻之間的關(guān)系；根據(jù)電源的電壓不變求出R₂、R₃之間的關(guān)系；利用電源的電壓不變求出圖3中的電流，最后根據(jù)P=I²R和圖1中R₂的功率求出電功率P₃的大�。�
（3）根據(jù)P=

U2

R

可知當(dāng)滑動(dòng)變阻器處于最大阻值處且三電阻串聯(lián)時(shí)，電路中的總電阻最大，電路所消耗的電功率最小，畫出等效電路圖，進(jìn)一步利用串聯(lián)電路的特點(diǎn)和電功率公式求出電路所消耗的最小電功率．

解答：解：當(dāng)P在A端，閉合S、S₁時(shí)，等效電路如圖1；當(dāng)P在中點(diǎn)，閉合S、斷開S₁時(shí)，等效電路如圖2；當(dāng)P在B端，閉合S、S₁時(shí)，等效電路如圖3．

（1）由圖1和圖2可知

I1

I2

=

U2 R3

U 2 ′ R3

=

U2

U ′ 2

=

4

1

--------①
（2）由圖1可知R₂兩端的電壓為U₁=I₁R₂--------------②
由圖2可知R₂兩端的電壓為U₁′=I₂（

R2

2

+R₁）----③
已知U₁=

4

5

U₁′----------------------------④
由①②③④可得：2R₁=9R₂---------------⑤
因電源電壓不變，所以U=I₁（R₃+R₂）------⑥
U=I2(R3+

R2

2

+R1)------------------⑦
由①⑤⑥⑦可得：R₂=3R₃，
當(dāng)P在A端，都S、S₁閉合時(shí)：P₂=I₁²R₂-------⑧
當(dāng)P在B端，都S、S₁閉合時(shí)：P₃=I₃²R₃-----------⑨
因電源的電壓不變，所以U=I₁（R₂+R₃）=I₃R₃，
解得

I1

I3

=

1

4

---------------------------⑩
聯(lián)立⑧⑨⑩解得：P₃=

16

3

P₂=16W．
（3）當(dāng)電路消耗的電功率最小時(shí)，電路中的總電阻最大，即P在A端，S閉合、S₁斷開，等效電路圖如圖4．

此時(shí)電路的最小電功率為：
Pmin=

U2

(R1+R2+R3)

=

U2

( 9 2 ×3R3+3R3+R3)

=

2U2

35R3

=

2

35

P₃≈0.9W．
答：（1）電流I₁與I₂的比值為4：1；
（2）電功率P₃的大小為16W；
（3）電路所消耗的最小電功率約為0.9W．

點(diǎn)評：本題目難度很大，需要學(xué)生先化簡電路圖，就開關(guān)斷開閉合時(shí)畫出合適的電路圖，并且結(jié)合電功率公式及其相關(guān)的比例關(guān)系，利用數(shù)學(xué)知識解決相關(guān)知識點(diǎn)．