Question

（2013?海淀區(qū)二模）數(shù)字式液體壓強(qiáng)計(jì)由薄片式壓強(qiáng)傳感器和數(shù)據(jù)采集顯示器兩部分組成．如圖甲所示，將傳感器放在大氣中調(diào)零后，放入浮有圓柱體A的圓柱形水槽底部，用它來測量水槽底受到水的壓強(qiáng)．然后在圓柱體A上逐個放上圓板，水槽底受到水的壓強(qiáng)與所加圓板個數(shù)的關(guān)系如圖乙所示．已知圓柱體的底面積S=0.02m²，圓柱體的密度ρ_A=0.75×10³kg/m³．所有的圓板完全相同，圓板與圓柱體A的底面積相等，厚度d=5mm，g取10N/kg．根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算，一個圓板的質(zhì)量m₁與圓柱體A的質(zhì)量m_A的比值m₁：m_A=

1：3

．

Answer 1

分析：由乙圖可知，當(dāng)兩個圓板放入時，物體A和兩個圓板恰好完全浸沒，此時水槽底受到水的壓強(qiáng)變化量△p=40Pa，再多放入一個圓板時水槽底受到水的壓強(qiáng)變化量△p′=10Pa．
（1）當(dāng)兩個圓板放入時，物體A和兩個圓板恰好完全浸沒，此時它們受到的浮力和它們的重力相等，根據(jù)物體的浮沉條件得出浮力的變化量，再根據(jù)體積公式得出液體深度的變化量，利用液體壓強(qiáng)公式表示出水槽底受到水的壓強(qiáng)變化量；
（2）物體A和兩個圓板恰好完全浸沒以后，再放入一個圓板時排開水體積的變化量等于一個圓板的體積，根據(jù)密度公式表示出其大小，再根據(jù)體積公式和液體壓強(qiáng)公式表示出水槽底受到水的壓強(qiáng)變化量，聯(lián)立以上等式即可求出圓板密度和水的密度關(guān)系；
（3）兩個圓板放入時，物體A和兩個圓板恰好完全浸沒，根據(jù)阿基米德原理表示出浮力，根據(jù)密度公式和重力公式表示出重力，利用浮沉條件得出等式即可求出物體A和一個圓板的體積之比，再利用密度公式求出一個圓板的質(zhì)量m₁與圓柱體A的質(zhì)量m_A的比值．

解答：解：由乙圖可知，當(dāng)兩個圓板放入時，物體A和兩個圓板恰好完全浸沒，此時水槽底受到水的壓強(qiáng)變化量△p=40Pa，再多放入一個圓板時水槽底受到水的壓強(qiáng)變化量△p′=10Pa；
（1）當(dāng)兩個圓板放入時，物體A和兩個圓板恰好完全浸沒，此時它們受到的浮力和它們的重力相等，
∴△F_浮=2m₁g，
根據(jù)阿基米德原理可得：
△F_浮=ρ_水g△V_排=2m₁g，即△V_排=

2m1

ρ水

，
液體上升的高度：
△h=

△V排

S容器

=

2m1

ρ水S容器

，
根據(jù)p=ρgh可得，水槽底受到水的壓強(qiáng)變化量：
△p=ρ_水g△h=ρ_水g×

2m1

ρ水S容器

=

2m1g

S容器

=40Pa------------①
（2）當(dāng)再多放入一個圓板時，根據(jù)ρ=

m

V

可得，排開水體積的增加量：
△V_排′=

m1

ρ1

，
水槽底受到水的壓強(qiáng)變化量：
△p′=ρ_水g△h′=ρ_水g×

△V′排

S容器

=ρ_水g×

m1

ρ1S容器

=10Pa----②
由①②相比可得：
ρ₁=2ρ_水；
（3）∵兩個圓板放入時，物體A和兩個圓板恰好完全浸沒，
∴2G₁+G_A=F_浮，
即2ρ₁V₁g+ρ_AV_Ag=ρ_水g（V_A+2V₁），
整理可得：

V1

VA

=

ρ水-ρA

2(ρ1-ρ水)

=

ρ水-ρA

2(2ρ水-ρ水)

=

ρ水-ρA

2ρ水

=

1.0×103kg/m3-0.75×103kg/m3

2×1.0×103kg/m3

=

1

8

，
∴

m1

mA

=

ρ1V1

ρAVA

=

ρ1

ρA

×

V1

VA

=

2ρ水

ρA

×

V1

VA

=

2×1.0×103kg/m3

0.75×103kg/m3

×

1

8

=

1

3

．
故答案為：1：3．

點(diǎn)評：本題考查了密度公式、浮沉體積的應(yīng)用、阿基米德原理、密度公式的應(yīng)用等，關(guān)鍵是由圖象得出當(dāng)兩個圓板放入時物體A和兩個圓板恰好完全浸沒物體、再放入一個圓板時排開水的體積和本身的體積相等．