Question

（2013?安徽）如圖，A、B兩地相距4km，MN是與AB連線平行的一條小河的河岸，AB到河岸的垂直距離為3km，小軍要從A處走到河岸取水然后送到B處，他先沿著垂直于河岸的方向到D點(diǎn)取水，再沿直線DB到B處．若小軍的速度大小恒為5km/h，不考慮取水停留的時(shí)間．
（1）求小軍完成這次取水和送水任務(wù)所需的時(shí)間．
（2）為了找到一條最短中路線（即從A到河岸和從河岸到B的總路程最短），可以將MN看成一個(gè)平面鏡，從A點(diǎn)作出一條光線經(jīng)MN反射后恰能通過B點(diǎn)，請(qǐng)你證明入射點(diǎn)O即為最短路線的取水點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）已知AB間的距離是4km，AB到河岸的距離（AD）是3km，可以計(jì)算出DB間的距離，此時(shí)便可知道小軍要走的路程了，又知速度，根據(jù)v=

s

t

變形計(jì)算出所需時(shí)間；
（2）利用平面鏡成像的特點(diǎn)：像與物關(guān)于平面鏡對(duì)稱，作出發(fā)光點(diǎn)A的像點(diǎn)A′，根據(jù)反射光線反向延長(zhǎng)通過像點(diǎn)，可以由像點(diǎn)和B點(diǎn)確定反射光線所在的直線，兩點(diǎn)之間，直線最短．

解答：解：（1）如下圖所示，小軍通過的路程是s_AD+s_DB，
此時(shí)，s_AB=4km，s_AD=3km，根據(jù)勾股定理可知，s_DB=5km，

故小軍通過的路程s=s_AD+s_DB=3km+5km=8km，
∵v=

s

t

∴所需的時(shí)間：
t=

s

v

=

8km

5km/h

=1.6h；
（2）作出發(fā)光點(diǎn)A關(guān)于平面鏡的對(duì)稱點(diǎn)，即為像點(diǎn)A′，連接A′、B點(diǎn)交平面鏡于點(diǎn)O，沿OB畫出反射光線，連接AO畫出入射光線，如圖所示，圖中O就是入射點(diǎn)；

①由圖可知，A′B的連線是直線，兩點(diǎn)之間，直線最短，即此時(shí)A′B之間的距離（s_A′O+s_OB）最短；
②根據(jù)平面鏡成像的特點(diǎn)可知，此時(shí)s_AD=s_A′D，且Rt△ADO與Rt△A′DO有一條公共邊DO，故可知Rt△ADO≌Rt△A′DO，即s_AO=s_A′O；
故s_AO+s_OB=s_A′O+s_OB；
即此時(shí)O點(diǎn)是最短路線的取水點(diǎn)．
 答：（1）小軍完成這次任務(wù)需1.6小時(shí)；
（2）如上所述，入射點(diǎn)O為最短路線的取水點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題利用平面鏡成像的特點(diǎn)，并結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，解決實(shí)際問題（取水路線最短），綜合性較強(qiáng)，是中考考查的熱點(diǎn)問題．