Question

小明同學(xué)將彈簧測(cè)力計(jì)下懸掛一均勻?qū)嵭慕饘賵A柱體，再將圓柱體浸在液體中，分別研究彈簧測(cè)力計(jì)示數(shù)與液體密度、物體在液體中深度的關(guān)系．實(shí)驗(yàn)時(shí)，他把圓柱體浸沒(méi)在不同液體中，分別記下了彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)，測(cè)得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1．然后把圓柱體浸在同種液體中，通過(guò)改變液面到圓柱體底部的距離，記下彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)，測(cè)得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2．
表1：

液體ρ（103體千克/米3）	1.2	1.8	2.0	2.2	2.4	2.5
彈簧測(cè)力計(jì)示數(shù)F（牛）	7.5	4.5		2.5	1.5	1.0

表2：

液面到金屬塊底部距離h（米）	0	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7
彈簧測(cè)力計(jì)示數(shù)F（牛）		11.1	9.9	8.7	7.5	7.5

根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，回答下列問(wèn)題．
（1）根據(jù)表1、表2中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，分析完成表1和表2中的空格填寫(xiě)．
（2）在圖1中，能正確反映表1中彈簧測(cè)力計(jì)示數(shù)與液體密度之間關(guān)系是圖1中的

A

．
（3）這只掛有金屬圓柱體的彈簧測(cè)力計(jì)可改裝為一只密度計(jì)．請(qǐng)?jiān)趫D2中標(biāo)出該密度計(jì)的零刻度位置．其分度值為

100kg/m³

．
（4）該金屬體的底面積為多少平方米？（要求寫(xiě)出完整的解答過(guò)程）
（5）在研究彈簧測(cè)力計(jì)示數(shù)與液體密度關(guān)系時(shí)，不液體密度為3.0×10³×kg/m³時(shí)，測(cè)得彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為0，請(qǐng)說(shuō)明產(chǎn)生此現(xiàn)象的原因：

圓柱體的密度小于所在液體的密度，所以圓柱體處于漂浮狀態(tài)

．
（6）表2中液體的密度為：

1.2×10³kg/m³

．
（7）通過(guò)分析表2，是否能得出：反映彈簧測(cè)力計(jì)示數(shù)與金屬塊浸在液體中體積之間的規(guī)律？若能，可能用什么表達(dá)式來(lái)表達(dá)？若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用圓柱體的重力和測(cè)力計(jì)的示數(shù)可以表示出圓柱體浸入液體中受到的浮力；同時(shí)用阿基米德原理表示出其在同一種液體中受到的浮力，兩個(gè)浮力相等，即可得到物體的重力和體積的關(guān)系式．從此入手可以求出圓柱體的重力和體積．
進(jìn)而利用阿基米德原理結(jié)合第三種液體的密度圓柱體在其中受到的浮力，從而可以求出此時(shí)測(cè)力計(jì)的示數(shù)．
（2）根據(jù)阿基米德原理可以確定在排開(kāi)液體體積不變的情況下，物體受到的浮力與所在液體的密度的關(guān)系，進(jìn)而確定圖象．
（3）當(dāng)圓柱體沒(méi)有浸入液體中時(shí)，此時(shí)測(cè)力計(jì)的指針對(duì)應(yīng)的位置為改制成的密度計(jì)的零刻度值．由此即可確定其零刻度的位置．
密度計(jì)的分度值是由測(cè)力計(jì)的分度值來(lái)決定的，即當(dāng)物體受到的浮力 變化為測(cè)力計(jì)的分度值（0.5N）時(shí)，求出圓柱體所在的液體的液體密度的變化值即為分度值．
（4）利用表2中的數(shù)據(jù)，結(jié)合圓柱體的重力和體積，利用阿基米德原理求出所在液體的密度；然后利用圓柱體浸入某一深度時(shí)受到的浮力，利用阿基米德原理求出此時(shí)圓柱體排開(kāi)的液體體積，再利用柱體的體積計(jì)算公式求出其橫截面積．
（5）測(cè)力計(jì)的示數(shù)為零，說(shuō)明此時(shí)物體受到的浮力與重力相等，即，物體處于漂浮或懸浮狀態(tài)．由此即可確定物體的密度與所在液體密度的大小關(guān)系．
（6）在第四問(wèn)中已解決．
（7）將測(cè)力計(jì)的示數(shù)表示出來(lái)即可．

解答：解：（1）設(shè)圓柱體的體積為V，受到的重力為G．
圓柱體在第一種液體中受到的浮力：F₁=G-7.5N，可以用阿基米德原理表示為：F₁=ρ₁gV，兩者聯(lián)立得：G-7.5N=ρ₁gV    ①，
圓柱體浸沒(méi)在第二種液體中時(shí)，同理可得：G-4.5N=ρ₂gV    ②
將表1中的液體密度代入得：G-7.5N=1.2×10³kg/m³×10N/kg×V   ③
G-4.5N=1.8×10³kg/m³×10N/kg×V  ④
解得：G=13.5N，V=5×10^-4m³．
當(dāng)物體浸沒(méi)在第三種液體中時(shí)，圓柱體受到的浮力：F₃=ρ₃gV=2×10³kg/m³×10N/kg×5×10^-4m³=10N．
此時(shí)測(cè)力計(jì)的示數(shù)為：F=G-F₃=13.5N-10N=3.5N．
在表格2中，當(dāng)圓柱體的下表面據(jù)液面的距離為零時(shí)，此時(shí)物體不受浮力，此時(shí)測(cè)力計(jì)的示數(shù)等于物體的重力為13.5N．
在表格2中，當(dāng)圓柱體的下表面據(jù)液面的距離從0.5m開(kāi)始，圓柱體浸沒(méi)入液體中，所以其在為0.7m時(shí)所受的浮力與在0.5m時(shí)相同，故測(cè)力計(jì)的示數(shù)不變?nèi)詾?.5N．7．
（2）在物體排開(kāi)液體的體積不變時(shí)，根據(jù)阿基米德原理可知，物體受到的浮力與所在液體的密度成正比，而浮力越大，彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)F就越小，且過(guò)原點(diǎn)．故其圖象應(yīng)該選A．
（3）當(dāng)圓柱體沒(méi)有進(jìn)入液體中時(shí)，此時(shí)測(cè)力計(jì)的指針對(duì)應(yīng)的刻度是改制成的密度計(jì)的零刻度．由于圓柱體沒(méi)有浸入液體中，所以其不受浮力，此時(shí)圓柱體對(duì)測(cè)力計(jì)的拉力就等于圓柱體的重力，故為13.5N，所以測(cè)力計(jì)上刻度為13.5N對(duì)應(yīng)的位置為密度計(jì)的零刻度值．答案如圖所示．
測(cè)力計(jì)上的最小刻度值對(duì)應(yīng)著改制成的密度計(jì)的分度值．由于圓柱體浸沒(méi)在液體中，所以其排開(kāi)的液體的體積不變，其受到的浮力變化是由液體的密度變化引起的．由此可以確定當(dāng)浮力變化值最小為0.5N（測(cè)力計(jì)的分度值）時(shí)對(duì)應(yīng)的是液體密度的變化的最小值，即分度值．
即：0.5N=ρ_分gV=ρ_分×10N/kg×5×10^-4m³，
解得：ρ_分=100kg/m³．

（4）根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)液面到金屬塊底部距離h為0.5米時(shí)，隨著h的增大，測(cè)力計(jì)的示數(shù)為7.5N不再變化，所以此時(shí)的圓柱體已經(jīng)浸沒(méi)如液體中，即V_排=V．
浸沒(méi)時(shí)圓柱體受到的浮力：F=G-7.5N=13.5N-7.5N=6N，再結(jié)合圓柱體的體積V=5×10^-4m³．
利用阿基米德原理可以求出液體的密度：ρ=

F

gV

=

6N

10N/kg×5×10-4m3

=1.2×10³kg/m³；
當(dāng)圓柱體第一次浸入液體中，液面到金屬塊底部距離h=0.2米時(shí)，受到的浮力為：F′=G-11.1N=13.5N-11.1N=2.4N．
此時(shí)物體排開(kāi)液體體積為：V′=

F′

ρg

=

2.4N

1.2×103kg/m3×10N/kg

=2×10^-4m³，
結(jié)合圓柱體浸入液體中的深度h=0.2m，由此可以求得圓柱體的橫截面積：S=

V′

h

=

2× 10-4m3

0.2m

=1×10^-3m²．
（5）根據(jù)圓柱體的重力和體積可以求得圓柱體的密度：ρ=

G

gv

=

13.5N

10N/kg×5×10-4m3

=2.7×10³kg/m³；
當(dāng)液體密度為3.0×10³×kg/m³時(shí)，此時(shí)圓柱體的密度小于所在液體的密度，所以圓柱體處于漂浮狀態(tài)，故測(cè)力計(jì)的示數(shù)為零．
（6）在第四問(wèn)中求得液體密度為：1.2×10³kg/m³；
（7）根據(jù)阿基米德原理可以得到物體受到的浮力與物體浸入液體中體積的關(guān)系：F_浮=ρgV_排，
測(cè)力計(jì)的示數(shù)F_拉=G-F_浮=G-ρgV_排=13.5N-1.2×10³kg/m³×10N/kg×V_排（V_排＜5×10^-4m³）
故答案為：（1）3.5；13.5；7.5；（2）A；（3）圖見(jiàn)上圖；100kg/m³；（4）1×10^-3m²．（5）圓柱體的密度小于所在液體的密度，所以圓柱體處于漂浮狀態(tài)；（6）1.2×10³kg/m³；
（7）F_拉=13.5N-1.2×10³kg/m³×10N/kg×V_排（V_排＜5×10^-4m³）

點(diǎn)評(píng)：此題的綜合性非常強(qiáng)，主要針對(duì)浮力的計(jì)算進(jìn)行了考查．其中對(duì)于阿基米德原理進(jìn)行了反復(fù)考查．
將表格中的數(shù)據(jù)與操作過(guò)程對(duì)應(yīng)起來(lái)是此題的難點(diǎn)