Question

火車與公路交叉處設(shè)置人工控制的欄桿，圖是欄桿的示意圖．欄桿全長(zhǎng)AB=6m，在欄桿的左端安裝配重，使欄桿和配重總體的重心位于O點(diǎn)．欄桿的P點(diǎn)安裝轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)軸與支架C連接，使欄桿能繞P在豎直平面無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，支架C用兩塊木板做成，中間空隙可以容納欄桿．欄桿的B端擱置在支架D上，當(dāng)支架D上受到壓力為F_D時(shí)，欄桿恰好在水平位置平衡．當(dāng)體重為G_人的管理人員雙腳站在水平地面時(shí)，他對(duì)地面的壓強(qiáng)是p₁；當(dāng)他用力F₁豎直向下壓A端，使欄桿的B端剛好離開(kāi)支架，此時(shí)人雙腳對(duì)地面的壓強(qiáng)是p₂．管理人員繼續(xù)用力可使欄桿逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)至豎直位置，并靠在支架C上．火車要通過(guò)時(shí)，他要在A端用力F₂使欄桿由豎直位置開(kāi)始離開(kāi)支架C，使欄桿能順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)直至欄桿B端又?jǐn)R置在支架D上．已知AP=OP=1m，PE=m，O點(diǎn)到欄桿下邊緣的距離OE=0.5m，p₁：p₂=2：1，欄桿與配重的總重G_桿=240N．
求：（1）F_D
（2）G_人
（3）F₂的最小值，此時(shí)F₂的方向．（計(jì)算和結(jié)果可帶根號(hào)）

Answer 1

解：（1）支架D受到的壓力F_D與支架D對(duì)桿的支持力F_B是一對(duì)相互作用力，F(xiàn)_D=F_B，
欄桿能繞P轉(zhuǎn)動(dòng)，欄桿恰好在水平位置平衡，根據(jù)杠桿平衡條件F₁?l₁=F₂?l₂得：
G_桿?PE=F_D?PB，
240N?m=F_D?（6m-1m），
所以，F(xiàn)_D=72N．
當(dāng)管理人員用力F₁豎直向下壓A端，杠桿處于水平位置平衡，根據(jù)杠桿平衡條件F₁?l₁=F₂?l₂得：
G_桿?PE=F₁?AP，
240N?m=F₁?1m，
所以，F(xiàn)₁=360N．
（2）S為人與地面的接觸面積，人站在水平地面對(duì)地面的壓強(qiáng)：p₁==，
用力F₁后，人對(duì)地面的壓力為G_人-F₁，人對(duì)地面的壓強(qiáng)：p₂==，
p₁：p₂=2：1，
即：：=2：1，
=，
所以，G_人=720N．
（3）當(dāng)欄桿在豎直位置時(shí)，欄桿重力的力臂大小等于為OE，要最省力，需要的力臂最長(zhǎng)，在A點(diǎn)水平向左拉動(dòng)欄桿．如圖．

根據(jù)杠桿平衡條件得，G_桿?OE=F₂?PA，
240N?0.5m=F₂?1m，
F₂=120N．
答：（1）F_D=72N．（2）G_人=720N．（3）F₂的最小值，此時(shí)F₂的方向在A點(diǎn)沿水平方向向左．
分析：欄桿能繞P在豎直平面無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，欄桿的B端擱置在支架D上，當(dāng)支架D上受到壓力為F_D時(shí)，杠桿右端受到豎直向上的力大小等于F_D，欄桿恰好在水平位置平衡，根據(jù)杠桿平衡條件求出大小F_D．
當(dāng)管理人員用力F₁豎直向下壓A端，使欄桿的B端剛好離開(kāi)支架，杠桿還處于水平位置平衡，根據(jù)杠桿平衡條件求出F₁大�。�
當(dāng)體重為G_人的管理人員雙腳站在水平地面時(shí)，他對(duì)地面的壓強(qiáng)是p₁；當(dāng)他用力F₁豎直向下壓A端，使欄桿的B端剛好離開(kāi)支架，此時(shí)人雙腳對(duì)地面的壓強(qiáng)是p₂．根據(jù)P₁和P₂的關(guān)系，求出人的體重．
管理人員要在A端用力F₂使欄桿由豎直位置開(kāi)始離開(kāi)支架C，使欄桿能順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)直至欄桿B端又?jǐn)R置在支架D上．在豎直方向上，欄桿有向逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的趨勢(shì)，所以要阻礙欄桿逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)．所以在欄桿的A點(diǎn)施加水平向左的力，根據(jù)杠桿平衡條件，求出F₂的大小．
點(diǎn)評(píng)：本題欄桿看出一個(gè)繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的杠桿，欄桿三次處于水平位置平衡，根據(jù)杠桿平衡條件列出等式，求出未知量．
人站在地面上，對(duì)地面有壓強(qiáng)，人壓欄桿時(shí)，對(duì)欄桿有壓力作用，根據(jù)物體間力的作用是相互的，欄桿對(duì)人有拉力的作用，人對(duì)地面有壓強(qiáng)，根據(jù)兩次壓強(qiáng)的關(guān)系，求出人的重力．